Question

【題目】把一個(gè)函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倒數(shù)（原函數(shù)圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)除外）橫坐標(biāo)不變，可以得到另一個(gè)函數(shù)的圖象，我們稱(chēng)這個(gè)過(guò)程為倒數(shù)變換．

例如：如圖1，將y＝x的圖象經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后可得到y＝的圖象．特別地，因?yàn)?/span>y＝x圖象上縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)是原點(diǎn)，所以該點(diǎn)不作變換，因此y＝的圖象上也沒(méi)有縱坐標(biāo)為0的點(diǎn)．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出y＝﹣x﹣1的圖象和它經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后的圖象；

（2）觀察上述圖象，結(jié)合學(xué)過(guò)的關(guān)于函數(shù)圖象和性質(zhì)的知識(shí)．

①猜想：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間可能有怎樣的聯(lián)系？寫(xiě)出兩條即可．

②說(shuō)理：請(qǐng)簡(jiǎn)要解釋你其中一個(gè)猜想；

（3）設(shè)圖2中的圖象的交點(diǎn)為A，B，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，m），△ABC的面積為6，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①猜想一：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點(diǎn)，則其縱坐標(biāo)為1或﹣1；猜想二：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性相同，比如原函數(shù)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則倒數(shù)變換的圖象也是軸對(duì)稱(chēng)圖象；②猜想一：說(shuō)理見(jiàn)解析；（3）m＝±6．

【解析】

（1）根據(jù)描點(diǎn)法畫(huà)出y＝﹣x﹣1的圖象，并運(yùn)用函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倒數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝﹣x﹣1經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后的圖象.

（2）①猜想一：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點(diǎn)，則其縱坐標(biāo)為1或﹣1；猜想二：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性相同，比如原函數(shù)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則倒數(shù)變換的圖象也是軸對(duì)稱(chēng)圖象.

②進(jìn)而利用只有1和﹣1的倒數(shù)是其本身，所以如果原函數(shù)存在一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1或﹣1，分析即可.

（3）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式求得A,B點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣1，m）代入△ABC的面積列出含m的代數(shù)表達(dá)式并使得值為6，進(jìn)而求出m.

解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y＝﹣x﹣1的圖象和它經(jīng)過(guò)倒數(shù)變換后的圖象如圖：

圖中去掉（﹣1，0）的點(diǎn)；

（2）①猜想一：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象之間如果存在交點(diǎn)，則其縱坐標(biāo)為1或﹣1；

猜想二：倒數(shù)變換得到的圖象和原函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性相同，比如原函數(shù)是軸對(duì)稱(chēng)圖形，則倒數(shù)變換的圖象也是軸對(duì)稱(chēng)圖象；

②猜想一：因?yàn)橹挥?/span>1和﹣1的倒數(shù)是其本身，所以如果原函數(shù)存在一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1或﹣1，那么倒數(shù)變換得到的圖象上必然也存在這樣對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)為1或﹣1，即兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)．

（3）解得或，

∴A（﹣2，1），B（0，﹣1），

∵C（﹣1，m），

∴S△ABC＝|m|×2＝6，

解得|m|＝6，

∴m＝±6．