Question

如圖，⊙O的弦AD∥BC，過點D的切線交BC的延長線于點E，AC∥DE交BD于點H，DO及延長線分別交AC、BC于點G、F，求證：2AC²=EF•EB．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：用AGD≌△CGF，求出AD=FC，得到FC=CE，再由切線定理求之，化為2AC²=（EC+FC）•EB，得出2AC²=EF•EB．

解答：證明：∵DE為⊙O的切線，
∴DE²=EC•EB，
∵AD∥BC，AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AC=DE，AD=EC，
∴AC²=EC•EB，
又∵OD⊥DE，AC∥DE，
∴FG⊥AC，且AG=CG，
∵AD∥BE，
∴∠ACB=∠CAD，
在△AGD和△CGF中，

∠GAD=∠GCF AG=CG ∠AGD=∠CGF

∴△AGD≌△CGF（ASA）
∴AD=FC，
∴EC=FC，
∵AC²=EC•EB，
AC²=FC•EB，
∴2AC²=（EC+FC）•EB，
∴2AC²=EF•EB．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是利用△AGD≌△CGF，求出AD=FC，得到FC=CE，再求證．