Question

【題目】如圖，在半⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE，CB于點P，Q，連接AC，關于下列結論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AC2=CQCB，其中結論正確的是______．

Answer 1

【答案】②③④．

【解析】

由于弧AC與弧BD不一定相等，根據圓周角定理可知①錯誤，選項①錯誤；連接BD，由GD為圓O的切線，根據弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP為直角，再由一對公共角，得到三角形APF與三角形ABD相似，根據相似三角形的對應角相等可得出∠APF等于∠ABD，根據等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，選項②正確；由直徑AB垂直于弦CE，利用垂徑定理得到A為弧CE的中點，得到兩條弧相等，再由C為弧AD的中點，得到兩條弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，選項③正確；利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，得到三角形ACQ與三角形ABC相似，根據相似得比例得到AC2=CQCB，選項④正確.

解：∵在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，

∴弧AC=弧CD≠弧BD，

∴∠BAD≠∠ABC，選項①錯誤；

連接BD，如圖所示：

∵GD為圓O的切線，

∴∠GDP=∠ABD，

又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，

∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，

∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，

∴△APF∽△ABD，

∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，

∴∠GDP=∠GPD，

∴GP=GD，選項②正確；

∵直徑AB⊥CE，

∴A為弧CE的中點，即弧AE=弧AC，

又C為弧AD的中點，

∴弧AC=弧CD，

∴弧AE=弧CD，

∴∠CAP=∠ACP，

∴AP=CP，

又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，

∴P為Rt△ACQ的外心，選項③正確；

連接CD，如圖所示：

∵弧AC=弧CD，

∴∠B=∠CAD，

又∵∠ACQ=∠BCA，

∴△ACQ∽△BCA，

∴=，即AC2=CQCB，選項④正確，

綜上可知正確的選項序號有②③④，

故答案為：②③④．