Question

如圖，已知二次函數(shù)y＝－x²＋mx＋4m的圖象與x軸交于A(x₁，0)，B(x₂，0)兩點(diǎn)(B點(diǎn)在A點(diǎn)的右邊)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，且(x₁＋x₂)－x₁x₂＝10．

(1)求此二次函數(shù)的解析式．

(2)寫出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)連接BM，動點(diǎn)P在線段BM上運(yùn)動(不含端點(diǎn)B，M)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H，設(shè)OH的長度為t，四邊形PCOH的面積為S．請?zhí)骄浚核倪呅蜳COH的面積S有無最大值？如果有，請求出這個最大值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由根與系數(shù)的關(guān)系，得 　　∵(x1＋x2)－x1x2＝10， 　　∴m＋4m＝10，m＝2． 　　∴二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋2x＋8． 　　(2)由－x2＋2x＋8＝0，解得x1＝－2，x2＝4． 　　y＝－x2＋2x＋8＝－(x－1)2＋9． 　　∴B，C，M的坐標(biāo)分別為B(4，0)，C(0，8)，M(1，9)． 　　(3)如圖，過M作MN⊥x軸于N，則ON＝1，MN＝9，OB＝4，BN＝3． 　　∵OH＝t(1＜t＜4)，∴BH＝4－t． 　　由PH∥MN，可求得PH＝3BH＝3(4－t)， 　　∴S＝(PH＋CO)·OH 　�。�(12－3t＋8)t 　　＝－t2＋10t(1＜t＜4)． 　　S＝－t2＋10t＝－(t－)2＋． 　　∵1＜＜4． 　　∴當(dāng)t＝時，S有最大值，其最大值為． 　　分析：(1)由根與系數(shù)的關(guān)系，得到x1和x2的關(guān)系式進(jìn)而求出m的值，所以可求此二次函數(shù)的解析式； 　　(2)令y＝0解一元二次方程，可求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；把二次函數(shù)的解析式為y＝－x2＋2x＋8配方化為頂點(diǎn)式可求出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)； 　　(3)過M作MN⊥x軸于N，則ON＝1，MN＝9，OB＝4，BN＝3，再由PH∥MN，可求得PH＝3BH＝3(4－t)，所以S＝－t2＋10t＝－(t－)2＋可求出四邊形PCOH的面積S最大值． 　　點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．