如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,1),直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點坐標為(
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2
,
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4
),B點在y軸上,直線與x軸的交點為F,P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于E點.
(1)求k,m的值及這個二次函數(shù)的解析式;
(2)設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在點P,使得以點P、E、D為頂點的精英家教網三角形與△BOF相似?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)已知頂點C(1,1),設拋物線頂點式y(tǒng)=a(x-1)2+1,將A(
5
2
13
4
)
代入可求拋物線解析式,從而可得B點坐標,已知A,B兩點坐標,直線y=kx+m的圖象經過A、B兩點,代入可求k,m的值;
(2)點P在直線y=
1
2
x+2故P(x,
1
2
x+2),點E在拋物線y=x2-2x+2上,故E(x,x2-2x+2),∴h=PE=h=
1
2
x+2-(x-1)2-1.又P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),∴0<x<
5
2
;
(3)在P點運動過程中,∠DPE只可能是銳角或鈍角,故直角頂點只有兩種對應關系,即O對D,O對E,分兩種情況,寫成相似比,即△PDE∽△BOF,△PED∽△BOF,分別求解.
解答:解:(1)設拋物線解析式為y=a(x-1)2+1
∵A(
5
2
,
13
4
)
在拋物線上精英家教網
13
4
=a(
5
2
-1)2+1
∴a=1
∴二次函數(shù)解析式為y=(x-1)2+1(或y=x2-2x+2)
令x=0得:y=2
即B(0,2)在y=kx+m上
∴m=2
(
5
2
,
13
4
)
代入y=kx+2,
k=
1
2
;

(2)h=
1
2
x+2-(x-1)2-1
=-x2+
5
2
x(0<x<
5
2
);

(3)假設存在點P,①當∠PED=∠BOF=90°時,由題意可得△PED∽△BOF
-x2+
5
2
x
2
=
x-1
4

∴x=
6
2
,
∵0<x<
5
2

∴x=
2-
6
2
(舍去)
而x=
2+
6
2
5
2

∴存在點P,其坐標為(
2+
6
2
,
10+
6
4
)

②當∠PDE=∠BOF=90°時,
過點E作EK垂直于拋物線的對稱軸,垂足為K.
由題意可得:△PDE∽△EKD,△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
5
2
-(x2-2x+2)
4
=
x-1
2

x=±
10
2

0<x<
5
2
x=-
10
2
舍去
x=
10
2
5
2
,
∴存在點P,其坐標為(
10
2
,
8+
10
4
)

綜上所述存在點P滿足條件,其坐標為
(
2+
6
2
10+
6
4
)
,(
10
2
,
8+
10
4
)
點評:本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的求法,用坐標表示線段的長,及相似條件的探求,具有較強的綜合性.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(1,0),直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在軸y上.
(1)求m的值及這個二次函數(shù)的關系式;
(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E,設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在一點P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請求出此時P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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(2012•高淳縣一模)如圖,已知二次函數(shù)y=-
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2
x2+mx+3的圖象經過點A(-1,
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2
).
(1)求該二次函數(shù)的表達式,并寫出該函數(shù)圖象的頂點坐標;
(2)點P(2a,a)(其中a>0),與點Q均在該函數(shù)的圖象上,且這兩點關于圖象的對稱軸對稱,求a的值及點Q到y(tǒng)軸的距離.

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(2013•江寧區(qū)二模)如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象過點A(-1,0),對稱軸為過點(1,0)且與y軸平行的直線.
(1)求該二次函數(shù)的關系式;
(2)結合圖象,解答下列問題:
①當x取什么值時,該函數(shù)的圖象在x軸上方?
②當-1<x<2時,求函數(shù)y的取值范圍.

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如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為M(2,0),直線y=x+2與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點,其中點A在y軸上,P為線段AB上一動點(除A,B兩端點外),過P作x軸的垂線與二次函數(shù)的圖象交于點Q設線段PQ的長為l,點P的橫坐標為x.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)求l與x之間的函數(shù)關系式,并求出l的取值范圍;
(3)線段AB上是否存在一點P,使四邊形PQMA為梯形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=(x-1)2的圖象的頂點為C點,圖象與直線y=x+m的圖象交于A、B兩點,其中A點的坐標為(3,4),B點在y軸上.
(1)求m的值;
(2)點P為線段AB上的一個動點(點P與A、B不重合),過點P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E,設線段PE的長為h,點P的橫坐標為x,求h與x之間的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點,在線段AB上是否存在一點P,使得四邊形DCEP是平行四邊形?若存在,請求出此時P點的坐標;若不存在,請說明理由.

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