Question

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；
【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過驗(yàn)證得出如下結(jié)論：
當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B，C除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立．
假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC延長線上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線段BC反向延長線上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證明AE=EF．
【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長線上時(shí)，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出S_△ABC：S_△AEF的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題,壓軸題,探究型

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=BC，∠B=∠ACB=60°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE，根據(jù)ASA，可得△AGE≌△ECF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得結(jié)論；
根據(jù)等邊三角形的判定，可得△AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形相似，可得△ABC與△AEF的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AC與AH的關(guān)系，AC與AE的關(guān)系，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得答案．

解答：證明：第一種情況：點(diǎn)E是線段BC上的任意一點(diǎn)，
可作三種輔助線：
方法一：如圖1，在AB上截取AG，使AG=EC，連接EG，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°．
∵AG=EC，
∴BG=BE，
∴△BEG是等邊三角形，∠BGE=60°，
∴∠AGE=120°．
∵FC是外角的平分線，
∠ECF=120°=∠AGE．
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE．
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC，
∴∠GAE=∠FEC．
在△AGE和△ECF中

∠GAE=∠CEF AG=EC ∠AGE=∠ECF

，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
方法二：在CA上截取CG=CE，連結(jié)GE，證明類似方法一；
方法三：延長FC到G，使CG=CE，連結(jié)EG，
易證△CEG是等邊三角形，
∴CE=EG，∠G=∠ACB=60°，∠CEG=∠AEF=60°，
∴∠CEG+∠CEF=∠AEF+∠CEF，
即∠GEF=∠AEC，
∴△GEF≌△CEA，
∴AE=EF．
第二種情況：點(diǎn)E是線段BC延長線上的任意一點(diǎn)
如圖2，可作三種輔助線：
①在CF上截取CG=CE，連接GE
②延長AC到G，使CG=CE，連結(jié)EG；
③或延長BA到G，使BG=BE，連結(jié)EG．

第②種添加輔助線的方法證明如下：
證明：延長AC到G，使CG=CE，連結(jié)EG，
易證△CEG為等邊三角形，
∴∠G=∠ECF=60°，EG=CE，
又∠AEG=∠CEG+∠AEC=60°+∠AEC，
∠CEF=∠AEF+∠AEC=60°+∠AEC，
∴∠AEG=∠CEF，
∴△AEG≌△FEC，
∴AE=EF．

第三種情況：點(diǎn)E是線段BC反向延長線上的任意一點(diǎn)
如圖3，可作三種輔助線：
①延長AB到G，使BG=BE，連結(jié)EG；
②延長CF到G，使CG=CE，連結(jié)EG；
③在CE上截取CG=CF，連結(jié)GF


現(xiàn)就第①種添加輔助線的方法證明如下：
證明：延長AB到G，使BG=BE，連結(jié)EG，
易證△BEG為等邊三角形，
∴∠G=∠ECF=60°，
∵∠AEB+∠BAE=∠ABC=60°，∠AEB+∠CEF=∠AEF=60°，
∴∠BAE=∠CEF，
∵AB=BC，BG=BE，
∴AB+BG=BC+BE，
即AG=CE，
∴△AEG≌△EFC，
∴AE=EF．

拓展應(yīng)用：
如圖4：作CH⊥AE于H點(diǎn)，

∴∠AHC=90°．
由數(shù)學(xué)思考得AE=EF，
又∵∠AEF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴△ABC∽△AEF．
∵CE=BC=AC，△ABC是等邊三角形，
∴∠CAH=30°，AH=EH．
∴CH=

1

2

AC，AH=

3

2

AC，AE=

3

AC，
∴

AC

AE

=

3

3

．
∴

S△ABC

S△AEF

=(

AC

AE

)2=(

3

3

)2=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵，題目稍有難度．