Question

【題目】已知正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，等腰直角三角形OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，E，F分別在OA，OC上，且OA＝4，OE＝2．將△OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△OE1F1，點(diǎn)E，F旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E1，F1．

（Ⅰ）①如圖①，求E1F1的長(zhǎng)；②如圖②，連接CF1，AE1，求證△OAE1≌△OCF1；

（Ⅱ）將△OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)OE1∥CF1時(shí)，求點(diǎn)E1的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①2；②證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）（1，）或（1，﹣）．

【解析】

（Ⅰ）①由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EF，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到相等的線段，根據(jù)SAS定理證明；

（Ⅱ）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必與OF垂直；在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E、F的軌跡是以O為圓心，OE（或OF）長(zhǎng)為半徑的圓，若CF⊥OF，那么CF必為⊙O的切線，且切點(diǎn)為F；可過(guò)C作⊙O的切線，那么這兩個(gè)切點(diǎn)都符合F點(diǎn)的要求，因此對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)也有兩個(gè)；在Rt△OFC中，OF＝2，OC＝OA＝4，可證得∠FCO＝30°，即∠EOC＝30°，已知了OE的長(zhǎng)，通過(guò)解直角三角形，得到E點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得解．

（Ⅰ）①解：∵等腰直角三角形OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，OE＝2，

∴∠EOF＝90°，OF＝OE＝2，

∴EF＝＝＝2，

∵將△OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△OE1F1，

∴E1F1＝EF＝2；

②證明：∵四邊形OABC為正方形，

∴OC＝OA．

∵將△OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得△OE1F1，

∴∠AOE1＝∠COF1，

∵△OEF是等腰直角三角形，

∴△OE1F1是等腰直角三角形，

∴OE1＝OF1．

在△OAE1和△OCF1中，

∴△OAE1≌△OCF1（SAS）；

（Ⅱ）解：∵OE⊥OF，

∴過(guò)點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，

當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，

則點(diǎn)F在以O為圓心，以OF為半徑的圓上．

∴過(guò)點(diǎn)F與OF垂直的直線必是圓O的切線，

又點(diǎn)C是圓O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為CF1和CF2，

此時(shí)，E點(diǎn)分別在E1點(diǎn)和E2點(diǎn)，滿足CF1∥OE1，CF2∥OE2．

當(dāng)切點(diǎn)F1在第二象限時(shí)，點(diǎn)E1在第一象限．

在直角三角形CF1O中，OC＝4，OF1＝2，

cos∠COF1＝＝＝，

∴∠COF1＝60°，

∴∠AOE1＝60°．

∴點(diǎn)E1的橫坐標(biāo)＝2cos60°＝1，

點(diǎn)E1的縱坐標(biāo)＝2sin60°＝，

∴點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（1，）；

當(dāng)切點(diǎn)F2在第一象限時(shí)，點(diǎn)E2在第四象限．

同理可求：點(diǎn)E2的坐標(biāo)為（1，﹣）．

綜上所述，當(dāng)OE1∥CF1時(shí)，點(diǎn)E1的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）．