Question

如圖，已知AB、AC為⊙O的兩條弦，D、E分別是

AB

、

AC

的中點(diǎn)，求證：
（1）AF=AG；
（2）AF²=DF•EG．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）連接OD交AB于M，連接OE交AC于N，易證∠ODE=∠OED和∠DFB=∠EGC，即可求得∠AFG=∠AGF，可得AF=AG；
（2）連接AD、AE，先證明△ADF∽△AEG，得出比例式AF：DF=EG：AG，得AF×AG=DF×EG，再由AF=AG，即可證出結(jié)論．

解答：證明：（1）連接OD交AB于M，連接OE交AC于N，如圖所示：
∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，
∵D、E分別是

AB

、

AC

的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODE+∠DFB=90°，∠OED+∠EGC=90°，
∴∠DFB=∠EGC，
∵∠AFG=∠DFB，∠AGF=∠EGC，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG；
（2）連接AD、AE，
由（1）得：∠AFG=∠AGF，
∴∠AFD=∠EGA，
∵D是

AB

的中點(diǎn)，
∴

BD

=

AD

，
∴∠DAF=∠AEG，
∴△ADF∽△AEG，
∴AF：DF=EG：AG
∴AF×AG=DF×EG
又∵AF=AG
∴AF²=DF×EG

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理；培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理論證的能力，證明角相等是解題的關(guān)鍵．