Question

如圖，在正△ABC中，D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)，AE=CD，AD與BE交于點(diǎn)F，AF=

1

2

BF．求證：CF⊥BE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形的外角性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：首先易得△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，然后取BF中點(diǎn)M，得到AF=BM，從而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，得到∠8與∠1+∠2的關(guān)系以及∠BAE與∠1+∠2的關(guān)系，利用∠BAE=60°，可得∠8的度數(shù)以及∠3的讀數(shù)，從而得到∠BFC的讀數(shù)，最后可得CF⊥BE．

解答：證明：取BF中點(diǎn)M，連接AM．
在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，

∠EAB=∠DCA=60° AB=CA AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，
∵AF=

1

2

BF，BM=

1

2

BF，
∴AF=BM．
∵FD=AD-AF，ME=BE-BM，
∴FD=ME．
在△AME與△CFD中，

AE=CD ∠AEB=∠ADC ME=FD

，
∴△AME≌△CFD（SAS），
∴∠7=∠MAE=∠5+∠6，∠3=∠4，
∵AF=MF，
∴∠8=∠3+∠5=2（∠1+∠2），
而∠BAE=∠2+∠5+∠6=∠2+∠3+∠6=∠2+（∠1+∠2）+∠1=2（∠1+∠2），
∴∠8=∠9=60°，∠3=∠1+∠2=

1

2

∠BAE=30°，
又∵∠9=∠8=60°，∠4=∠3=30°，
∴∠BFC=∠9+∠4=90°，
∴CF⊥BE．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于作出相關(guān)輔助線，利用角的關(guān)系進(jìn)行解答．