Question

如圖1，是一個長方體盒子，長AB=4，寬BC=2，高CG=1．
（1）一只螞蟻從盒子下底面的點A沿盒子表面爬到點G，求它所行走的最短路線的長．
（2）這個長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒長度的為多少？
解：（1）螞蟻從點A爬到點G有三種可能，展開成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計算出AG²的值分別為

 

、

 

、

 

，比較后得AG²最小為

 

．即最短路線的長是

 

．
（2）如圖3，AG²=AC²+CG²=AB²+BC²+CG²=4²+2²+1²=21．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題

專題：

分析：（1）螞蟻有三種爬法，就是把正視和俯視（或正視和側(cè)視，或俯視和側(cè)視）二個面展平成一個長方形，然后利用勾股定理求其對角線，比較大小即可求得最短的途徑；
（2）根據(jù)勾股定理，知長方體盒子內(nèi)能容下的最長木棒的平方等于長方體的長、寬、高的平方和．

解答：解：（1）螞蟻從點A爬到點G有三種可能，展開成平面圖形如圖2所示，由勾股定理計算出AG²的值分別為（4+2）²+1²=37、4²+（1+2）²=25、2²+（4+1）²=29，比較后得AG²最小為25．即最短路線的長是5．

（2）如圖3，AG²=AC²+CG²=AB²+BC²+CG²=4²+2²+1²=21．
故答案為37，25，29，5．

點評：本題考查了平面展開-最短路徑問題及勾股定理的應(yīng)用．“化曲面為平面”是解決“怎樣爬行最近”這類問題的關(guān)鍵．注意：長方體中最長的對角線的平方等于長方體的長、寬、高的平方和．