Question

如圖，?ABCD中，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F．
（1）求證：BF=DE；
（2）如果∠ABC=75°，∠DBC=30°，BC=2，求BD的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得出AD=BC，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△CBF，進而得出答案；
（2）首先得出AE的長，進而得出DE，BD的長．

解答：（1）證明：在?ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
則∠ADE=∠CBF．
∵AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，
∴∠AED=∠CFB=90°．
在△ADE和△CBF中，

∠AED=∠BFC ∠ADE=∠CBF AD=BC

，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴DE=BF．

（2）解：∵∠ABC=75°，∠DBC=30°，
∴∠ABE=75°-30°=45°．
∵AB∥CD，
∴∠ABE=75°-30°=45°
∵AD=BC=2，∠ADE=∠CBF=30°，
∴在Rt△ADE中，AE=1，
DE=

4-1

=

3

．
在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°
故AE=BE=1．
則BD=

3

+1．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理等知識，得出△ADE≌△CBF是解題關(guān)鍵．