Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，點D與坐標原點重合，點C在x軸上，點A在y軸上，點B的坐標是（8，12），矩形ABCD沿直線EF折疊，點A落在BC邊上的G處，點E，F(xiàn)分別在AD，AB上，且F點的坐標是（5，12）．
（1）求點G的坐標；
（2）求直線EF的解析式；
（3）坐標系內(nèi)是否存在點M，使以點A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=5，而FB=AB-AF=3，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點坐標；
（2）作EK⊥BC于K，通過求得△FBG∽△GKE，可求出AE，從而求得E的坐標，又F點坐標已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式；
（3）本問關(guān)鍵是確定平行四邊形的位置與形狀．因為M為動點，A、E、F已經(jīng)確定，所以可從此入手，按照EF、AE、AF分別為對角線的思路，確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用平行四邊形的性質(zhì)即可求得M點坐標．

解答：解：（1）由已知得，F(xiàn)G=AF=5，F(xiàn)B=3
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠B=90°
BG=

FG2-FB2

=

52-32

=4，
∴CG=BC-BG=12-4=8
∴G點的坐標為（8，8）；
 
（2）如圖1，作EK⊥BC于K，
∵∠EGF=∠OAB=90°，
∴∠FGB+∠EGK=90°，
∴∠FGB=∠GEK，
∵∠B=∠EKG=90°，
∴△FBG∽△GKE，
∴

EG

FG

=

EK

BG

，即

EG

5

=

8

4

，
∴EG=10，
∴AE=EG=10，
∴OE=OA-AE=2，
∴E（0，2）
設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b
又F點的坐標是（5，12）
∴

b=2 5k+b=12

，解得k=2，b=2；
∴直線EF的解析式為y=2x+2；
（3）若以A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：
①EF為平行四邊形的對角線，如圖2①所示．


∵以A，E，F(xiàn)，M為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形AEM₁F是平行四邊形，
又∵∠OAB=90°，
∴四邊形是矩形，
∴M（5，2）；
②AE為平行四邊形的對角線，如圖2②所示．

∵四邊形AM₂EF是平行四邊形，
∴M₂E=AF=5，M₂E∥AF，
∴M₂（-5，2）；
③AF為平行四邊形的對角線，如圖2③所示．

∵四邊形AM₃FE是平行四邊形，
∴AE=M₃F=10，M₃F∥AE，
∴M₃（5，22）；
綜上所述，存在點M，使以M、N、F、G為頂點的四邊形是平行四邊形．
點M的坐標為：M₁（5，2），M₂（-5，2），M₃（5，22）．

點評：本題是一次函數(shù)的綜合題，涉及到的知識點包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)（直線）解析式、矩形、平行四邊形、直角三角形性質(zhì)、勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)等，對解題能力要求較高．難點在于第（3）問，這是一個存在性問題，注意平行四邊形有三種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．