Question

探究問題：圓內(nèi)有很多關(guān)于線段的性質(zhì)，如果能進行深入的探究，對提高自己的學(xué)習(xí)能力有很大的幫助．雖然這些知識看起來很復(fù)雜，摸不著頭腦，但其實，我們完全可以用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識來得到這些新的知識．下面，就請同學(xué)們開動腦筋，積極思考，來作一個深入的探究吧．
如圖，PT是圓O的切線，點T是切點，作線段PB與圓O相交，交點為A、B兩點，連結(jié)TA、OP，OP與圓O相交于點C．
（1）探究∠ATP與∠B之間的關(guān)系；（提示：過點T作直徑與圓相交，連結(jié)這個交點與A點）
（2）證明：PT²=PA•PB；
（3）如果線段PA=4，AB=5，CP=3，求出圓O的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）作直徑TD，連結(jié)AD，根據(jù)圓周角定理得∠TAD=90°，∠D=∠B，則∠B+∠DTA=90°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得DT⊥PT，所以∠DTA+∠ATP=90°，利用等量代換即可得到∠ATP=∠B；
（2）根據(jù)三角形相似的怕定方法證明△ATP～△TPB，根據(jù)相似的性質(zhì)得

PT

PB

=

PA

PT

，然后根據(jù)比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）利用PT²=PA•PB可計算出PT=6，設(shè)圓O的半徑為R，則OP=OC+PC=3+R，在Rt△OPT中，根據(jù)勾股定理得到R²+6²=（R+3）²，然后解方程即可得到圓的半徑．

解答：（1）解：作直徑TD，連結(jié)AD，
∵TD是直徑，
∴∠TAD=90°
∴∠D+∠DTA=90°，
∵∠D=∠B，
∴∠B+∠DTA=90°，
∵PT是切線，
∴DT⊥PT，
∴∠DTA+∠ATP=90°，
∴∠ATP=∠B；
（2）證明：∵∠ATP=∠B，
而∠TPA=∠BPA，
∴△ATP～△TPB，
∴

PT

PB

=

PA

PT

，
∴PT²=PA•PB；
（3）解：∵PA=4，AB=5，
∴PB=9，
∴PT²=PA•PB=4×9=36，
∴PT=6，
設(shè)圓O的半徑為R，則OP=OC+PC=3+R，
在Rt△OPT中，∵OT²+PT²=OP²，
∴R²+6²=（R+3）²，解得R=4.5，
即⊙O的半徑為4.5．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．也考查了圓周角定理、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．