Question

如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD互相垂直，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，依次連結這四個中點得到四邊形EFGH．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形；
（2）若AC=15，BD=10，求四邊形EFGH的周長．

Answer 1

考點：中點四邊形

專題：

分析：（1）首先利用三角形的中位線定理證得四邊形EFGH為平行四邊形，然后利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定即可；
（2）利用三角形的中位線定理得到四邊形EFGH的周長等于對角線的和的一半即可．

解答：解：（1）∵點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴EF=

1

2

AC，GH=

1

2

AC，
∴EF=GH，同理EH  FG
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
又∵對角線AC、BD互相垂直，
∴EF與FG垂直．
∴四邊形EFGH是矩形．

（2）∵EF=

1

2

AC，F(xiàn)G=

1

2

BD，
∴EF=7.5，F(xiàn)G=5
∴四邊形EFGH的周長是2×（7.5+5）=25．

點評：本題考查了中點四邊形的知識，解題的關鍵是靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及矩形的判斷進行證明，是一道綜合題．