【題目】(模型建立)

1)如圖1,等腰RtABC中,∠ACB90°,CBCA,直線ED經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)AADED于點(diǎn)D,過點(diǎn)BBEED于點(diǎn)E,求證:△BEC≌△CDA

(模型應(yīng)用)

2)如圖2,已知直線l1yx+3x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,將直線l1繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°至直線l2;求直線l2的函數(shù)表達(dá)式;

3)如圖3,平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)B3,﹣4),過點(diǎn)BBAx軸于點(diǎn)A、BCy軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是直線y=﹣2x+1上的動(dòng)點(diǎn)且在第四象限內(nèi).試探究△CPD能否成為等腰直角三角形?若能,求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不能,請(qǐng)說明理由.

【答案】1)見詳解;(2;(3)點(diǎn)D坐標(biāo)得()或(4,7)或(,).

【解析】

1)由垂直的定義得∠ADC=CEB=90°,平角的定義和同角的余角的相等求出∠DAC=ECB,角角邊證明CDA≌△BEC;

2)證明ABO≌∠BCD,求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-35),由點(diǎn)到直線上構(gòu)建二元一次方程組求出k=5,b=10,待定系數(shù)法求出直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=-5x-10;

3)構(gòu)建MCP≌△HPD,由其性質(zhì),點(diǎn)D在直線y=-2x+1求出m=n=0,將m的值代入,得點(diǎn)D坐標(biāo)得(,)或(47)或(,).

解:(1)如圖1所示:

ADED,BEED,
∴∠ADC=CEB=90°,
又∵∠ACD+ACB+BEC=180°,∠ACB=90°,
∴∠ACD+BEC=90°,
又∵∠ACD+DAC=90°,
∴∠DAC=ECB,
CDABEC中,

∴△CDA≌△BECAAS);
2)過點(diǎn)BBCABAC于點(diǎn)C,CDy軸交y軸于點(diǎn)D,如圖2所示:

CDy軸,x軸⊥y軸,
∴∠CDB=BOA=90°,
又∵BCAB
∴∠ABC=90°,
又∵∠ABO+ABC+CBD=180°
∴∠ABO+CBD=90°,
又∵∠BAO+ABO=90°,
∴∠BAO=CBD,
又∵∠BAC=45°,
∴∠ACB=45°,
AB=CB
ABO和∠BCD中,

,

∴△ABO≌∠BCDAAS),
AO=BDBO=CD,
又∵直線l1y=x+3x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,
∴點(diǎn)AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(0,3),
AO=2,BO=3,
BD=2,CD=3,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3,5),
設(shè)l2的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+bk≠0),
點(diǎn)A、C兩點(diǎn)在直線l2上,依題意得:

,

∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為y=5x10

3)能成為等腰直角三角形,依題意得,
①若點(diǎn)P為直角時(shí),如圖3甲所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,m),則PB的長(zhǎng)為4+m,
∵∠CPD=90°,CP=PD
CPM+CDP+PDH=180°,
∴∠CPM+PDH=90°
又∵∠CPM+DPM=90°,
∴∠PCM=PDH,
MCPHPD中,

∴△MCP≌△HPDAAS),
CM=PHPM=PD,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(7+m,-3+m),
又∵點(diǎn)D在直線y=-2x+1上,
-27+m+1=-3+m,
解得:m=,

即點(diǎn)D的坐標(biāo)為();

②若點(diǎn)C為直角時(shí),如圖3乙所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3n),則PB的長(zhǎng)為4+n,
CA=CD
同理可證明PCM≌△CDHAAS),
PM=CH,MC=HD,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4+n,-7),
又∵點(diǎn)D在直線y=-2x+1上,
-24+n+1=-7,
解得:n=0,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,點(diǎn)M與點(diǎn)O重合,
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,-7);
③若點(diǎn)D為直角時(shí),如圖3丙所示:

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,k),則PB的長(zhǎng)為4+k,
CD=PD,
同理可證明CDM≌△PDQAAS),
MD=PQ,MC=DQ
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,),
又∵點(diǎn)D在直線y=-2x+1上,
-2×+1=,
解得:k=,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A重合,點(diǎn)M與點(diǎn)O重合,
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,);

綜合上述,點(diǎn)D坐標(biāo)得(,)或(47)或(,).

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