Question

如圖，直線l與x軸交于點(diǎn)P（1，0），與x軸所夾的銳角為θ，且tanθ=

3

2

，直線l與拋物線y=

1

a

x2+bx+c（a＞0）相交于B（m，-3），D（3，n）
（1）求B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示b和c；
（2）①若關(guān)于x的方程x2+

3

ax+a2-

1

2

a+

1

4

=0有實(shí)數(shù)根，求此時(shí)拋物線的解析式；
②若拋物線y=

1

a

x2+bx+c（a＞0）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，順次連接A、B、C、D得凸四邊形ABCD，問四邊形ABCD的面積有無最大值或最小值？若有，求出面積的最大值或最小值；若無，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：綜合題,壓軸題

分析：（1）作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在Rt△PDE中，利用正切的定義得到tanθ=tan∠DPE=

DE

PE

=

3

2

，可求出DE=3，于是確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；在Rt△PBF中用同樣方法可確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3）；再把B（-1，-3）、D（3，3）代入y=

1

a

x2+bx+c得方程組

1 a -b+c=-3 9 a +3b+c=3

，把它看作為關(guān)于b、c的方程組，解得b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

；
（2）①根據(jù)根的判別式得到△=（

3

a）²-4（a²-

1

2

a+

1

4

）≥0，整理后得到（a-1）²≤0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a-1=0，即a=1，即可得到此時(shí)拋物線的解析式為y=x²-

1

2

x-

9

2

；
②利用拋物線與x軸兩交點(diǎn)的距離公式得到AC=

b2-4• 1 a •c

| 1 a |

=a

b2- 4c a

=

a2b2-4ac

，把b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

代入整理得到AC=

1

2

9a2+64

，而S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

AC×3+

1

2

AC×3=3AC，則S_{四邊形ABCD}=

3

2

9a2+64

，由于a＞0，9a²+64沒有最大值，也沒有最小值，即

9a2+64

，沒有最大值，也沒有最小值．

解答：解：（1）作DE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，如圖，
∵點(diǎn)P（1，0），tanθ=

3

2

，D（3，n），
∴OP=1，OE=3，
∴PE=2，
在Rt△PDE中，tanθ=tan∠DPE=

DE

PE

=

3

2

，
∴DE=3，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；
∵B點(diǎn)坐標(biāo)（m，-3），
∴BF=3，
在Rt△PBF中，tanθ=tan∠FPB=

BF

PF

=

3

2

，
∴PF=2，
∴OF=1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-3）；
把B（-1，-3）、D（3，3）代入y=

1

a

x2+bx+c得

1 a -b+c=-3 9 a +3b+c=3

，

解得b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

；
（2）①根據(jù)題意得△=（

3

a）²-4（a²-

1

2

a+

1

4

）≥0，
∴（a-1）²≤0，
∴a-1=0，即a=1，
∴此時(shí)拋物線的解析式為y=x²-

1

2

x-

9

2

；
②四邊形ABCD的面積無最大值和最小值．理由如下：
AC=

b2-4• 1 a •c

| 1 a |

=a

b2- 4c a

=

a2b2-4ac

，
∵b=

3

2

-

2

a

，c=-

3

2

-

3

a

，
∴AC=

a2( 3 2 - 2 a )2-4a(- 3 2 - 3 a )

=

1

2

9a2+64

，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

AC×3+

1

2

AC×3=3AC，
∴S_{四邊形ABCD}=

3

2

9a2+64

，
∵a＞0，
∴9a²+64沒有最大值，也沒有最小值，即

9a2+64

，沒有最大值，也沒有最小值
∴四邊形ABCD的面積無最大值和最小值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)綜合題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點(diǎn)式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

，當(dāng)a＞0，y_最小值=

4ac-b2

4a

；當(dāng)a＜0，y_最，大值=

4ac-b2

4a

；對(duì)于一元二次方程的根的判別式和三角函數(shù)的定義要熟練運(yùn)用．