Question

已知：拋物線y＝x²＋mx＋n與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，B(3，0)，

且經(jīng)過(guò)C(2，－3)，與y軸交于點(diǎn)D，

(1)求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)F的坐標(biāo)；

(2)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；

(3)在(1)的條件下，在x軸上是否存在兩個(gè)點(diǎn)G、H(G在H的左側(cè))，且GH＝2，使得線段GF＋FC＋CH＋HG的長(zhǎng)度和為最�。蝗绻�存在，求出G、Ｈ的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)拋物線過(guò)點(diǎn)B(3，0)；C(2，－3) 　　 　　∴m＝－2，n＝－3 　　∴y＝x2－2x－3 　　∴y＝(x－1)2－4…………………………2分 　　∴頂點(diǎn)F坐標(biāo)(1，－4)………………3分 　　(2)設(shè)AC的解析式為：y＝kx＋b 　　A(－1，0)　C(2，－3) 　　 　　解得：k＝－1，b＝－1 　　∴AC的解析式為：y＝－x－1………………4分 　　設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則P(a，－a－1)，E的橫坐標(biāo)為a， 　　∵E在拋物線上，故E(a，a2－2a－3) 　　∴PE＝－a－1－(a2－2a－3)＝－a2＋a＋2＝－(a－)2＋ 　　∵－1＜a＜2 　　∴當(dāng)a＝時(shí)，PE的最大值為………………5分 　　(3)只需求GC＋HF最短． 　　拋物線y＝x2－2x－3的對(duì)稱軸為． 　　將點(diǎn)F向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度至F1，F(xiàn)1(3，－4)， 　　作F1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F2(3，4)， 　　聯(lián)結(jié)F2F，與x軸交于點(diǎn)H，H為所求．…………………6分 　　可求得F2F，的解析式為：…………………7分 　　當(dāng)y＝0時(shí)，x＝……………………………8分 　　∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為(，0)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(，0)．………………9分