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已知：拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于P，Q兩點，與y軸交于點E，且OE＝OP＝PQ．(1)畫出拋物線的示意圖，并求出拋物線的解析式；(2)問線段EQ上是否存在一點M，使△EMP∽△EPQ？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　思路點撥：(1)拋物線開口向上，與x軸的兩交點P、Q位居y軸的同側，有兩種情況，且P是線段OQ的中點；

　　由線段相等關系可得方程x2＋bx＋c＝0兩根，再用韋達定理列出方程組，并解之得拋物線解析式；

　　(2)假設存在，由相似三角形對應邊成比例，列出等式關系，求解得結論．

　　評注：本題主要考查了拋物線、一元二次方程、直線和相似三角形等知識，同時還考查了方程思想、數形結合思想、分類討論思想．而第(2)小題又考查了一個存在性探索問題．因此本題思維層次高、運算量大、綜合性強，要求考生具有較高的分析問題、探索問題和解決問題的能力．

　　一般情況下，解決條件探索題時，應先假設結論存在，并在此基礎上，結合題設條件進行推理、計算，推出使結論成立的條件或說明不存在使結論成立的條件．由于此類問題的結構都比較復雜，所以往往需要分類討論．

　　另外，本題中的兩點P、Q會分居原點的兩側嗎？事實上是不可能的．若P、Q兩點分居原點兩側，則顯然有OP＜PQ，這與題設OP＝PQ矛盾．故P、Q兩點只能位于原點的同側．


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源：中考備考專家數學(第二版) 題型：044

已知：拋物線y＝x2－mx＋與拋物線y＝x2＋mx－m2在平面直角坐標系xOy中的位置如圖所示，其中一條與x軸交于A、B兩點．

(1)試判斷哪條拋物線經過A、B兩點，并說明理由；

(2)若A、B兩點到原點的距離AO、BO滿足－＝，求經過A、B兩點的這條拋物線的解析式．

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科目：初中數學 來源：中考備考專家數學(第二版) 題型：044

已知：拋物線y＝x2－(2m＋4)x＋m2－10與x軸交于A、B兩點，C是拋物線的頂點．

(1)用配方法求頂點C的坐標(用含m的代數式表示)；

(2)“若AB的長為2，求拋物線的解析式．”解法的部分步驟如下，補全解題過程，并簡述步驟①的解題依據，步驟②的解題方法．

　　解：由(1)知，對稱軸與x軸交于點D(　　，0)．

　　∵拋物線的對稱性及AB＝2，

　　∴AD＝BD＝|xA－xD|＝．

　　∵點A(xA，0)在拋物線y＝(x－h(huán))2＋k上，

　　∴0＝(xA－h(huán))2＋k．　　①

　　∵h＝xC＝xD，將|xA－xD|＝代入上式，得到關于m的方程

　　0＝()2＋(　　)　　②

(3)將(2)中的條件“AB的長為2”改為“△ABC為等邊三角形”，用類似的方法求出此拋物線的解析式．

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科目：初中數學 來源：1＋1輕巧奪冠優(yōu)化訓練九年級數學上 北京課改版 題型：044

已知：拋物線y＝x2－(3m－1)x＋m2－m．

(1)求證：此拋物線與x軸必有兩個交點；

(2)若此拋物線與直線y＝x－3m＋3的一個交點在y軸上，求m的值．

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科目：初中數學 來源：北京市延慶縣2008年初中升學模擬試卷及答案、數學 題型：044

已知：拋物線y＝x2＋mx＋n與x軸交A、B兩點(A點在B點左側)，B(3，0)，

且經過C(2，－3)，與y軸交于點D，

(1)求此拋物線的解析式及頂點F的坐標；

(2)P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物于E點，求線段PE長度的最大值；

(3)在(1)的條件下，在x軸上是否存在兩個點G、H(G在H的左側)，且GH＝2，使得線段GF＋FC＋CH＋HG的長度和為最��；如果存在，求出G、Ｈ的坐標；如果不存在，說明理由．

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