Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，DF平分∠ADC交BC于F，EF⊥BD，求證：四邊形EBFD是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定

專題：證明題

分析：由平行四邊形ABCD可得出的條件有：①AB=CD，②∠A=∠C，③∠ABC=∠CDA；已知BE、CD分別是等角∠ABD、∠CDA的平分線，易證得∠ABE=∠CDF④；聯(lián)立①②④，即可由ASA判定所求的三角形全等，進(jìn)一步得到DE=BF，那么DE和BF平行且相等，由此可判定四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)對角線垂直的平行四邊形是菱形即可得出EBFD的形狀．

解答：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
∴AE=CF，
在平行四邊形ABCD中，AD平行BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴若BD⊥EF，則四邊形EBFD是菱形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及菱形的判定方法．