Question

已知AD是△ABC的角平分線，且AC=2，AB=3，∠A=60°，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理,角平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC、AB的高線DE、DF，垂足分別是E、F．過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于點(diǎn)H，勾股定理可得BC長(zhǎng)度，利用面積法可得DE，即可得AD．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC、AB的高線DE、DF，垂足分別是E、F．
∵AD是△ABC的角平分線，
∴DF=DE．
過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵在直角△AHC中，AC=2，∠A=60°，
∴AH=AC•cos60°=

1

2

AC=1，CH=AC•sin60°=

3

．
又∵AB=3，
∴BH=AB-AH=3-1=2，
∴在直角△CBH中，由勾股定理得到BC=

CH2+BH2

=

3+4

=

7

．
∴

1

2

AB•CH=

1

2

AB•DF+

1

2

AC•DE=

1

2

（AB+AC）•DE，即

1

2

×3×

3

=

1

2

×（2+3）×DE，
解得 DE=

3 3

5

，
又∵在直角△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=30°，
∴AD=2DE=

6 3

5

．即AD=

6 3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理、角平分的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形．根據(jù)題意作出輔助線，是解題的難點(diǎn)．