Question

【題目】如圖，已知直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，∠A＝28°．

(1)求∠ACM的度數(shù)；

(2)在MN上是否存在一點(diǎn)D，使ABCD＝ACBC，為什么？

Answer 1

【答案】(1)∠ACM＝62°；(2)存在符合條件的點(diǎn)D，使ABCD＝ACBC，理由見解析.

【解析】

(1)求∠ACM 的度數(shù),需求出∠B 的度數(shù);在 中,已知∠A 的度數(shù),即可求出∠B 、∠ACM 的度數(shù);
(2)乘積的形式通�？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式:
① ,此時(shí)需證 ,那么過B作MN的垂線,那么垂足即為符合條件的D點(diǎn);
②,此時(shí)需證,則過A作MN的垂線,垂足也符合D點(diǎn)的條件.
兩者的證明過程一致,都是通過弦切角得出一組對(duì)應(yīng)角相等,再加上一組直角得出三角形相似.

(1)∵AB是半圓的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠A＝62°，

∵直線MN與以AB為直徑的半圓相切于點(diǎn)C，

∴∠ACM＝∠B＝62°；

(2)存在符合條件的點(diǎn)D，使ABCD＝ACBC，

①過A作AD⊥MN于D，則ABCD＝ACBC，

證明：∵MN是半圓的切線，且切點(diǎn)為C，

∴∠ACD＝∠B，

∵∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ABC∽△ACD，

∴，

即ABCD＝ACBC；

②過B作BD⊥MN于D，則ABCD＝ACBC，

證明過程同①，

因此MN上存在至少一點(diǎn)D，使ABCD＝ACBC．