Question

【題目】順次連接平面直角坐標(biāo)系xOy中，任意的三個(gè)點(diǎn)P，Q，G．如果∠PQG＝90°，那么稱∠PQG為“黃金角”．

已知：點(diǎn)A（0，3），B（2，3），C（3，4），D（4，3）．

（1）在A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)中能夠圍成“黃金角”的點(diǎn)是　 　；

（2）當(dāng)時(shí)，直線y＝kx+3（k≠0）與以OP為直徑的圓交于點(diǎn)Q（點(diǎn)Q與點(diǎn)O，P不重合），當(dāng)∠OQP是“黃金角”時(shí)，求k的取值范圍；

（3）當(dāng)P（t，0）時(shí)，以OP為直徑的圓與△BCD的任一邊交于點(diǎn)Q，當(dāng)∠OQP是“黃金角”時(shí)，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）B，C，D；（2）﹣≤k＜0；（3）6≤t≤.

【解析】

(1)描點(diǎn),順次連接，看有幾個(gè)90°角.

（2）根據(jù)直線與圓有交點(diǎn)，分為相切和相交兩種情況進(jìn)行求解.當(dāng)相切時(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)及J（,0），F（0，3）求出∠JFO＝∠JFQ＝30°，從而求∠OFH＝60°，最終求的H點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程即可.當(dāng)相交時(shí)都符合條件，最終求出k的范圍

（3）根據(jù)（2）的分析，找出圓與三角形相切或相交的兩種極限情況求出的值，即為t邊界情況.

解：（1）觀察圖象可知：∠BCD＝90°，

∴在A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)中能夠圍成“黃金角”的點(diǎn)是B，C，D；

故答案為B，C，D．

（2）如圖2中，當(dāng)直線y＝kx+3與⊙J相切時(shí)，設(shè)直線y＝kx+3交y軸于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H，切點(diǎn)為Q，連接FJ．

∵FO，FQ是切線，

∴∠JFO＝∠JFQ，

∵J（，0），F（0，3），

∴tan∠JFO＝

∴∠JFO＝∠JFQ＝30°，

∴∠OFH＝60°，

∴OH＝OF＝3，

∴H（3，0），

把H（3，0）代入y＝kx+3，

得到k＝﹣，

觀察圖象可知：當(dāng)直線y＝kx+3與⊙j有交點(diǎn)時(shí)，∠OQP是“黃金角”（點(diǎn)Q與點(diǎn)O，P不重合），

∴﹣≤k＜0．

（3）如圖3中，設(shè)以OP為直徑的圓的圓心為J．

由題意可知當(dāng)以OP為直徑的圓與△BCD的邊有交點(diǎn)時(shí)，∠OQP是“黃金角”，

當(dāng)⊙J與△BCD的邊相切時(shí)，J（3，0）．此時(shí)P（6，0），t＝6．

當(dāng)⊙J′經(jīng)過(guò)等C時(shí)，連接CJ′，CJ．設(shè)OJ′＝CJ′＝r，

在Rt△CJJ′中，r2＝（r﹣3）2+42，

解得r＝，

∴OP′＝，

∴P′（，0），

觀察圖象可知：當(dāng)6≤t≤時(shí)，∠OQP是“黃金角”．