Question

已知，矩形紙片ABCD中，AB=10cm，AD=8cm，按下列步驟進(jìn)行操作：

如圖1，在線段AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC（余下部分不再使用）；
如圖2，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；
如圖3，將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．（注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊）
發(fā)現(xiàn)：（1）通過操作，最后拼成的四邊形形狀為

 

；
探究：（2）由于題中點(diǎn)E、M、N的位置不確定，因而所得四邊形的周長會(huì)發(fā)生變化，探究下列問題：
①拼成的四邊形的周長取決于線段

 

的長；
②通過操作發(fā)現(xiàn)，四邊形的周長存在最大值和最小值，請?jiān)趫D4和圖5中分別畫出相應(yīng)的剪拼圖并直接寫出該四邊形的周長最值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題,圖形的剪拼

專題：

分析：（1）通過作圖可以由圖1得出結(jié)論；
（2）①由三角形中位線的性質(zhì)可以得出BC=6為定值，進(jìn)而就有四邊形的周長取決于MN的大��；
②在矩形中探究MN的不同位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A或點(diǎn)D時(shí)就可以得出MN的最大值，由平行線間垂線段最短就可以得到最小值，從而問題解決．

解答：解（1）通過作圖，如圖1，得出，通過操作，最后拼成的四邊形形狀為平行四邊形．
理由：∵N₁N₂=EN₁+EN₂=NB+NC=BC，
M₁M₂=M₁G+GM+MH+M₂H=2（GM+MH）=2GH=BC，
∴N₁N₂=M₁M₂，
∵M(jìn)₁M₂∥N₁N₂，
∴四邊形M₁N₁N₂M₂是一個(gè)平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；                         
（2）①∵四邊形M₁N₁N₂M₂的周長為2N₁N₂+2M₁N₁=2BC+2MN，且BC=6為定值，
∴四邊形的周長取決于MN的大�。�
故答案為：MN；                                
②如圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖．
過G、H點(diǎn)作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，則四邊形PBCQ是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半．
∵M(jìn)是線段GH上的任意一點(diǎn)，N是線段BC上的任意一點(diǎn)，
根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；
而當(dāng)E點(diǎn)在A點(diǎn)或D點(diǎn)時(shí)，MN的最大值等于矩形PQCB的對(duì)角線的長度，即
PC=

PB2+BC2

=

100+64

=2

41

．
∴四邊形M₁N₁N₂M₂周長的最小值為：16+2×5=26；
四邊形M₁N₁N₂M₂周長的最大值為：16+2×2

41

=16+4

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)手操作能力和空間想象能力的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)確定剪拼之后的圖形，并且探究MN的不同位置關(guān)系得出四邊形周長的最值是解題關(guān)鍵．