Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=

1

2

x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C  在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，

7

2

）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
（3）若點(diǎn)P在CD上方，則四邊形PCOD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想求解．將直線y=

1

2

x+2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；
（3）作DM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)面積為S，根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在拋物線y=-x2+

7

2

x+2上，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+

7

2

m+2），則PE=-m²+

7

2

m+2，OE=m，GE=3-m，DG=

7

2

，根據(jù)S_{四邊形OCPD}=S_梯形OCPE+S_梯形PEGD-S_△DOG確定二次函數(shù)，求得當(dāng)m=

3

2

時(shí)有最值即可．

解答：解：（1）在直線解析式y=

1

2

x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）．
∵點(diǎn)C（0，2）、D（3，

7

2

）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴c=2，
-9+3b+c=

7

2

，
解得b=

7

2

，c=2，
∴拋物線的解析式為y=-x2+

7

2

x+2；

（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴PF=OC=2，
∴將直線y=

1

2

x+2沿y軸向上、下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點(diǎn)，即為所求之交點(diǎn)．
由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點(diǎn)有3個．
將直線y=

1

2

x+2沿y軸向上平移2個單位，得到直線y=

1

2

x+4
聯(lián)立

y= 1 2 x+4 y=-x2+ 7 2 x+2

解得x₁=1，x₂=2，∴m₁=1，m₂=2；
將直線y=

1

2

x+2沿y軸向下平移2個單位，得到直線y=

1

2

x
聯(lián)立

y= 1 2 x y=-x2+ 7 2 x+2

解得x₃=

3+ 17

2

，x₄=

3- 17

2

（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），
∴m₃=

3+ 17

2

∴當(dāng)m為值為1，2或

3+ 17

2

時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

（3）如答圖2，作DM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)面積為S，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且點(diǎn)P在拋物線y=-x2+

7

2

x+2上，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+

7

2

m+2），
則PE=-m²+

7

2

m+2，OE=m，GE=3-m，DG=

7

2

，
∴S_{四邊形OCPD}=S_梯形OCPE+S_梯形PEGD-S_△DOG
=

1

2

[（PE+OC）•OE+（PE+DG）•EG-OG•DG]
=

1

2

[（-m²+

7

2

m+2+2）•m+（-m²+

7

2

m+2+

7

2

）（3-m）+3×

7

2

]
=-

3

2

m²+

9

2

m
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

51

8

，
∴當(dāng)m=

3

2

時(shí)面積最大，
∴P(

3

2

，5)．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形、勾股定理等重要知識點(diǎn)．第（2）問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；