【題目】如圖,已知在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,點(diǎn)E是線段AD邊上的任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)A、D),連結(jié)BE、CE.

(1)若a=5,sin∠ACB= ,求b.
(2)若a=5,b=10當(dāng)BE⊥AC時(shí),求出此時(shí)AE的長(zhǎng).
(3)設(shè)AE=x,試探索點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使得△ABE與△BCE相似時(shí),求a、b應(yīng)滿足什么條件,并求出此時(shí)x的值.

【答案】
(1)解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,

∵AB=a=5,sin∠ACB=

,

∴AC=13,

∴BC= =12,

∴b=12


(2)解:如圖1,

∵BE⊥AC,

∴∠2+∠3=90°,

又∠1+∠3=90°,

∴∠1=∠2,

又∠BAE=∠ABC=90°,

∴△AEB∽△BAC,

,


(3)解:∵點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn),且不與A、D重合,

∴當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí),則∠BEC=90°

所以當(dāng)△BAE∽△CEB(如圖2)

則∠1=∠BCE,

又BC∥AD,

∴∠2=∠BCE,

∴∠1=∠2, 。

又∠BAE=∠EDC=90°,

∴△BAE∽△EDC,

,

,

∴x2﹣bx+a2=0,

,

當(dāng)b2﹣4a2≥0,

∵a>0,b>0,

∴b≥2a,

即b≥2a時(shí), ,

綜上所述:當(dāng)a、b滿足條件b=2a時(shí)△BAE∽△CEB,此時(shí) (或x=a);

當(dāng)a、b滿足條件b>2a時(shí)△BAE∽△CEB,此時(shí)


【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABC=90°,根據(jù)正弦三角函數(shù)得出AC,然后利用勾股定理得出BC的長(zhǎng),從而得出答案;
(2)根據(jù)同角的余角相等得出∠1=∠2,又∠BAE=∠ABC=90°,從而判斷出△AEB∽△BAC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出答案;
(3)點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn),且不與A、D重合,當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí),則∠BEC=90°,所以當(dāng)△BAE∽△CEB(如圖2),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠1=∠BCE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠BCE,由等量代換得出∠1=∠2,又∠BAE=∠EDC=90°,從而判斷出△BAE∽△EDC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出方程x2﹣bx+a2=0,將方程變形( x ) 2 =,當(dāng)b2﹣4a2≥0,a>0,b>0,故b≥2a,綜上所述得出結(jié)論
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì),需要了解矩形的四個(gè)角都是直角,矩形的對(duì)角線相等;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.8.2、8.0、7.5
B.8.2、8.5、8.1
C.8.2、8.2、8.15
D.8.2、8.2、8.18

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(1)當(dāng)n=200時(shí),①根據(jù)信息填表:

A地

B地

C地

合計(jì)

產(chǎn)品件數(shù)(件)

x

2x

200

運(yùn)費(fèi)(元)

30x

②若運(yùn)往B地的件數(shù)不多于運(yùn)往C地的件數(shù),總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)4000元,則有哪幾種運(yùn)輸方案?
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C.②、③、④
D.①、②、④

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