【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M0,-1),與x軸交于A、B兩點(diǎn).

1)求拋物線(xiàn)的解析式;

2)判斷△MAB的形狀,并說(shuō)明理由;

3)過(guò)原點(diǎn)的任意直線(xiàn)(不與y軸重合)交拋物線(xiàn)于C、D兩點(diǎn),連接MC,MD,試判斷MC、MD是否垂直,并說(shuō)明理由.

【答案】1y=x2-1.(2△MAB是等腰直角三角形.理由見(jiàn)解析;(3MC⊥MD;理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析:(1)待定系數(shù)法即可解得.

2)由拋物線(xiàn)的解析式可知OA=OB=OM=1,得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形.

3)分別過(guò)C點(diǎn),D點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn),交x軸于EF,過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交ECG,交DFH,設(shè)Dm,m2-1),Cn,n2-1),通過(guò)EGDH,得出,從而求得m、n的關(guān)系,根據(jù)m、n的關(guān)系,得出CGM∽△MHD,利用對(duì)應(yīng)角相等得出CMG+DMH=90°,即可求得結(jié)論.

試題解析:(1拋物線(xiàn)y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M0,-1),

,解得b=0,c=-1,

拋物線(xiàn)的解析式為:y=x2-1

2△MAB是等腰直角三角形.

由拋物線(xiàn)的解析式為:y=x2-1可知A-1,0),B10),

∴OA=OB=OM=1

∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°,

∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°,AM=BM

∴△MAB是等腰直角三角形.

3MC⊥MD;

分別過(guò)C點(diǎn),D點(diǎn)作y軸的平行線(xiàn),交x軸于EF,過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)交EC延長(zhǎng)線(xiàn)于G,交DFH,

設(shè)Dm,m2-1),Cn,n2-1),

∴OE=-n,CE=1-n2,OF=mDF=m2-1,

∵OM=1,

∴CG=n2DH=m2,

∵EG∥DH,

,

,

m1-n2=-nm2-1),

m-mn2=-m2n+n,

m2n-mn2=-m+n

mnm-n=-m-n),

∴mn=-1

解得m=-,

, ,

∵∠CGM=∠MHD=90°,

∴△CGM∽△MHD

∴∠CMG=∠MDH,

∵∠MDH+∠DMH=90°

∴∠CMG+∠DMH=90°

∴∠CMD=90°,

MC⊥MD

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