Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象，
（1）求其解析式；
（2）觀察圖象寫出y＞0時x的取值范圍；
（3）是否存在某直線經(jīng)過A（1，0）并與該拋物線只有一個公共點？若存在，求出該直線的解析式，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的性質

專題：計算題

分析：（1）設交點式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），然后頂點坐標代入求出a即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，找出函數(shù)圖象在x軸上方所對應的自變量的取值范圍即可；
（3）分類討論：當經(jīng)過A（1，0）且與y軸平行的直線與該拋物線只有一個公共點，此時易得直線為x=1；當經(jīng)過A（1，0）的直線y=kx+m與該拋物線只有一個公共點，先把A（1，0）代入y=kx+m得k+m=0，解得m=-k，則直線解析式為y=kx-k，根據(jù)拋物線與一次函數(shù)的交點問題，得到方程-2x²+8x-6=kx-k有兩個相等的實數(shù)解，整理得2x²+（k-8）x+6-k=0，則△=（k-8）²-4×2×（6-k）=0，解得k=4，所以經(jīng)過A（1，0）的直線y=4x-4與該拋物線只有一個公共點．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
把（2，2）代入得a•1•（-1）=2，解得a=-2，
所以拋物線解析式為y=-2（x-1）（x-3）=-2x²+8x-6；
（2）當1＜x＜3時，y＞0；
（3）存在．
當經(jīng)過A（1，0）的直線為x=1時，直線與該拋物線只有一個公共點；
當經(jīng)過A（1，0）的直線y=kx+m與該拋物線只有一個公共點，
把A（1，0）代入y=kx+m得k+m=0，解得m=-k，
因為直線y=kx-4與y=-2x²+8x-6只有一個公共點，則方程組

y=kx-k y=-2x2+8x-6

只有一組解，
即-2x²+8x-6=kx-k有兩個相等的實數(shù)解，
整理得2x²+（k-8）x+6-k=0，△=（k-8）²-4×2×（6-k）=0，解得k=4，
所以經(jīng)過A（1，0）的直線y=4x-4與該拋物線只有一個公共點，
綜上所述，滿足條件的直線為x=1或y=4x-4．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質和直線與拋物線的交點問題．