Question

二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象，
（1）求其解析式；
（2）觀察圖象寫出y＞0時(shí)x的取值范圍；
（3）是否存在某直線經(jīng)過A（1，0）并與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出該直線的解析式，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,二次函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-1）（x-3），然后頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可；
（2）觀察函數(shù)圖象，找出函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可；
（3）分類討論：當(dāng)經(jīng)過A（1，0）且與y軸平行的直線與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)易得直線為x=1；當(dāng)經(jīng)過A（1，0）的直線y=kx+m與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，先把A（1，0）代入y=kx+m得k+m=0，解得m=-k，則直線解析式為y=kx-k，根據(jù)拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，得到方程-2x²+8x-6=kx-k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，整理得2x²+（k-8）x+6-k=0，則△=（k-8）²-4×2×（6-k）=0，解得k=4，所以經(jīng)過A（1，0）的直線y=4x-4與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
把（2，2）代入得a•1•（-1）=2，解得a=-2，
所以拋物線解析式為y=-2（x-1）（x-3）=-2x²+8x-6；
（2）當(dāng)1＜x＜3時(shí)，y＞0；
（3）存在．
當(dāng)經(jīng)過A（1，0）的直線為x=1時(shí)，直線與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)經(jīng)過A（1，0）的直線y=kx+m與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
把A（1，0）代入y=kx+m得k+m=0，解得m=-k，
因?yàn)橹本�y=kx-4與y=-2x²+8x-6只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程組

y=kx-k y=-2x2+8x-6

只有一組解，
即-2x²+8x-6=kx-k有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，
整理得2x²+（k-8）x+6-k=0，△=（k-8）²-4×2×（6-k）=0，解得k=4，
所以經(jīng)過A（1，0）的直線y=4x-4與該拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上所述，滿足條件的直線為x=1或y=4x-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和直線與拋物線的交點(diǎn)問題．