Question

【題目】在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，，．

（1）在圖1中，P為直徑BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，當(dāng)CP與⊙O相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)；

（2）如圖2，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周，當(dāng)時(shí)，求半徑OM所掃過的扇形的面積．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）；；；．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到CP⊥OC，由于∠OAC=∠AOC=60°，于是得到∠P=90°-∠AOC=30°，在Rt△POC中，求得CO=PO=4，即可得到結(jié)論；

（2）如圖，當(dāng)S△MAO=S△CAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的位置有四種．①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1，連接AM1，OM1，②過點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2，③過點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3，④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，求得每種情況的OM轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求得弧AM的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）∵CP與⊙O相切，OC是半徑．

∴CP⊥OC，

又∵∠OAC=∠AOC=60°，

∴∠P=90°-∠AOC=30°，

∴在Rt△POC中，CO=PO=4，

則PO=2CO=8；

（2）如圖，

①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M1，連接AM1，OM1．

易得S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，S△MAO=S△CAO，

此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=；

②過點(diǎn)M1作M1M2∥AB交⊙O于點(diǎn)M2，連接AM2，OM2，易得S△M2AO=S△CAO．

∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°

∴或，

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=π；

③過點(diǎn)C作CM3∥AB交⊙O于點(diǎn)M3，連接AM3，OM3，易得S△M3AO=S△CAO

∴∠BOM3=60°，

∴=×240或=×2=

∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，S△MAO=S△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為，

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=；

④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，S△MAO=S△CAO，

此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長(zhǎng)為×300°或π+=

∴半徑OM所掃過的扇形的面積=××4=．