Question

如圖：拋物線y=－x2＋bx＋c交x軸于A、B，直線y=x＋2過點A，交y軸于C，交拋物線于D，且D的縱坐標為5．

（1）求拋物線解析式；

（2）點P為拋物線在第一象限的圖象上一點，直線PC交x軸于點E，若PC=3CE，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，點Q為x軸上一點，把△PCQ沿CQ翻折，點P剛好落在x軸上點G處，求Q點的坐標．

Answer 1

（1）y=-x2+2x+8；（2）P（2，8）；（3）Q（-4，0）或Q（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）將已知點的坐標代入二次函數(shù)的一般形式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；

（2）設P（m，-m2+2m+8），作PH⊥x軸，交x軸于點H，從而得到△EOC∽△EHP，利用相似三角形對應邊的比相等得到PH=4OC，從而列出方程-m2+2m+8=4×2，求得m的值即可確定點的坐標；

（3）作PK⊥y軸，從而得到PK=2，KC=8-2=6，然后由翻折得△CQG≌△CQP，從而得到QG=QP，CG=CP=2，然后在Rt△OCG中求得GO的長即可求得點G的坐標．

試題解析：（1）∵y=x+2，

∴A（-2，0），

∵D的縱坐標為5，

∴5=x+2，

解得：x=3

∴D（3，5），

又∵A（-2，0）D（3，5）在拋物線y=-x2+bx+c上，

∴

解得

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+8；

（2）設P（m，-m2+2m+8），

作PH⊥x軸，交x軸于點H，

∴CO∥PH，

∴△EOC∽△EHP，

∴，

∵PC=3CE，

∴，

∴PH=4OC，

∴-m2+2m+8=4×2，

解得 m=2，或m=0（舍去），

∴P（2，8）；

（3）作PK⊥y軸，

∴PK=2，KC=8-2=6，

在Rt△CPK中，CP=2，

由翻折得△CQG≌△CQP，

∴QG=QP，CG=CP=2，

在Rt△OCG中，

∵CP=2，OC=2，

∴GO=6，

∴G（6，0）或G（-6，0），

過P作PH⊥x軸，則H（2，0），且PH=8，

設Q（n，0）

則QP2=PH2+QH2=82+（n-2）2，

GQ=|xQ-xG|=|n-（±6）|

因為QG=QP，

82+（n-2）2=[n-（±6）]2，

解得n=-4，或n=2，

∴Q（-4，0）或Q（2，0）．

考點：二次函數(shù)綜合題．