Question

如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點(diǎn)，過A作AF⊥BE，交CD邊于F，M是AD邊上一點(diǎn)，且有BM＝DM＋CD．

（1）求證：點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；

（2）求證：∠MBC＝2∠ABE．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由正方形得到AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，根據(jù)AF⊥BE，求出∠AEB=∠AFD，推出△BAE≌△ADF，即可證出點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；

（2）延長AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，證△FDG≌△FCB，求出B，F(xiàn)，G共線，再證△ABE≌△CBF，得到∠ABE=∠CBF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可求出結(jié)論．

試題解析：（1）∵正方形ABCD，∴AD=DC=AB=BC，∠C=∠D=∠BAD=90°，AB∥CD，

∵AF⊥BE，∴∠AOE=90°，∴∠EAF+∠AEB=90°，∠EAF+∠BAF=90°，∴∠AEB=∠BAF，

∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∴∠AEB=∠AFD，

∵∠BAD=∠D，AB=AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE=DF，

∵E為AD邊上的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)；

（2）延長AD到G．使MG=MB．連接FG，F(xiàn)B，

∵BM=DM+CD，∴DG=DC=BC，

∵∠GDF=∠C=90°，DF=CF，∴△FDG≌△FCB（SAS），∴∠DFG=∠CFB，∴B，F(xiàn)，G共線，

∵E為AD邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CD邊的中點(diǎn)，AD=CD，∴AE=CF，

∵AB=BC，∠C=∠BAD=90°，AE=CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF，

∵AG∥BC，∴∠AGB=∠CBF=∠ABE，∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE，

∴∠MBC=2∠ABE．

考點(diǎn)：1．正方形的性質(zhì)；2．三角形的外角性質(zhì)；3．全等三角形的判定與性質(zhì)．