Question

平面直角坐標(biāo)中，正方形ABCD位置如圖所示，點(diǎn)A（1，0），D（0，2）延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形AB₁C₁C，延長(zhǎng)CB₁交x軸于A₂，作正方形AB₂C₂C₁…，按這樣規(guī)定進(jìn)行下去，第n個(gè)正方形邊長(zhǎng)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)點(diǎn)A、D的坐標(biāo)求出OA、OD，再利用勾股定理列式求出AD，然后求出∠ADO=∠A₁AB，再求出△AOD和△A₁BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出A₁B=

1

2

AB，從而求出第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，同理依次求解即可．

解答：解：∵點(diǎn)A（1，0），D（0，2），
∴OA=1，OD=2，
由勾股定理得，AD=

OA2+OD2

=

12+22

=

5

，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AB=AD=

5

，
∴∠DAO+∠A₁AB=90°，
∵∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠A₁AB，
又∵∠AOD=∠A₁BA=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OA

OD

=

A1B

AB

，
∴A₁B=

1

2

AB，
∴第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₁C=

3

2

AB=

3 5

2

，
同理可得第三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)A₂C₁=

3

2

A₁C=（

3

2

）²AB=（

3

2

）²

5

，
…，
第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)=（

3

2

）^n-1

5

．
故答案為：（

3

2

）^n-1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的

3

2

倍是解題的關(guān)鍵．