Question

已知⊙O的半徑為2，∠AOB=120°．
（1）點O到弦AB的距離為

 

；．
（2）若點P為優(yōu)弧AB上一動點（點P不與A、B重合），設∠ABP=α，將△ABP沿BP折疊，得到A點的對稱點為A′；
①若∠α=30°，試判斷點A′與⊙O的位置關系；
②若BA′與⊙O相切于B點，求BP的長；
③若線段BA′與優(yōu)弧APB只有一個公共點，直接寫出α的取值范圍．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,垂徑定理

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；證明∠AOC=60°，得到OC=1．
（2）①證明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直徑；證明∠P A′B=90°，即可解決問題．
②證明∠A′B P=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB為正三角形，求出AB的長即可解決問題．
③直接寫出α的取值范圍即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，過點O作OC⊥AB于點C；
∵OA=OB，
則∠AOC=∠BOC=

1

2

×120°=60°，
∵OA=2，
∴OC=1．
故答案為1．
（2）①∵∠AOB=120°
∴∠APB=

1

2

∠AOB=60°，
∵∠PBA=30°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是⊙O的直徑，
由翻折可知：∠P A′B=90°，
∴點A′在⊙O上．
②由翻折可知∠A′B P=∠ABP，
∵BA′與⊙O相切，
∴∠OB A′=90°，
∴∠AB A′=120°，
∴∠A′B P=∠ABP=60°；
∵∠APB=60°，
∴△PAB為正三角形，
∴BP=AB；如圖，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC；而OA=2，OC=1，
∴AC=

3

，
∴BP=AB=2

3

．
③α的取值范圍為0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．

點評：該題主要考查了翻折變換、垂徑定理及其應用問題；解題的關鍵是靈活運用翻折變換、垂徑定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．