Question

如圖，已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，2），⊙C的圓心坐標(biāo)為（-1，0），半徑為1．若D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，則△ABE面積的最小值是多少？（寫解題過(guò)程）

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：

分析：由于OA的長(zhǎng)為定值，若△ABE的面積最小，則BE的長(zhǎng)最短，此時(shí)AD與⊙相切；可連接CD，在Rt△ADC中，由勾股定理求得AD的長(zhǎng)，易證得△AEO∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出BE的值，進(jìn)而可根據(jù)三角形的面積公式得解．

解答：解：若△ABE的面積最小，則AD與⊙C相切，連接CD，則CD⊥AD；
Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；
由勾股定理，得：AD=2

2

；
∵∠ADC=∠AOE=90°，∠CAD=∠EAO，
∴△ACD∽△AEO，
∴

OE

CD

=

OA

AD

，
∴OE=

2

2

，
∴BE=2-

2

2

，
∴S_△ABE=

1

2

×2×（2-

2

2

）=2-

2

2

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角形面積的求法等知識(shí)；能夠正確的判斷出△BE面積最小時(shí)AD與⊙C的位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．