Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點P，BQ上AD于點Q．

(1)求證：AD=BE；

(2)求∠PBQ的度數(shù)；

(3)若PQ=3，PE=1，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）∠PBQ=30°；（3）AD=7.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理SAS證得△AEB≌△CDA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）利用（1）中的全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角的性質(zhì)求得∠BPQ=60°，再由直角三角形兩銳角互余即可得到結(jié)論；

（3）由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”得到2PQ=BP=6，則易求BE=BP+PE=7．

（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°．

在△AEB與△CDA中，∵，∴△AEB≌△CDA（SAS），∴AD=BE；

（2）由（1）知，△AEB≌△CDA，則∠ABE=∠CAD，∴∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=60°．

在Rt△PBQ中，∠PBQ=90°－∠BPQ=90°－60°=30°；

（3）∵∠PBQ=30°，∴PQ=BP=3，∴BP=6，∴BE=BP+PE=7，即AD=7．

故答案為：7．