Question

已知：關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過x軸上的一個固定點；
（3）若m是整數，且關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有兩個不相等的整數根，把拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1向右平移3個單位長度，求平移后的拋物線的解析式．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據一元二次方程的定義和根的判別式得：m≠0，m-1≠0，再整理即可；
（2）由（m-1）x²+（m-2）x-1=0，得出x=

-(m-2)±m(xù)

2(m-1)

，再由x₁=

-m+2-m

2(m-1)

=-1，即可得出拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過定點（-1，0）；
（3）由

1

m-1

是整數，得出m是整數，且m≠0，m≠1，則m=2，求出拋物線為y=x²-1，再寫出把它的圖象向右平移3個單位長度的解析式即可．

解答：（1）解：∵方程有兩個不相等的實數根，
∴△=（m-2）²+4（m-1）=m²＞0，
∴m≠0，
∵是關于x的一元二次方程，
∴m-1≠0，
∴m的取值范圍是m≠0且m≠1的實數；

（2）證明：令y=0得，（m-1）x²+（m-2）x-1=0，
∴x=

-(m-2)± m2

2(m-1)

=

-(m-2)±m(xù)

2(m-1)

，
∴x₁=

-m+2-m

2(m-1)

=-1，x₂=

-m+2+m

2(m-1)

=

1

m-1

，
∴拋物線與x軸的交點坐標是（-1，0），（

1

m-1

，0），
∴無論m取何值，拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過定點（-1，0）；

（3）解：∵x=-1是整數，
∴只需

1

m-1

是整數，
∵m是整數，且m≠0，m≠1，
∴m=2，
當m=2時，拋物線為y=x²-1．
把它的圖象向右平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y=x²-6x+8．

點評：此題考查了二次函數綜合，用到的知識點是二次函數與坐標軸的交點、二次函數的移動、根的判別式、一元二次方程的定義，關鍵是根據有關定義和公式列出算式．