Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，已知A（6，

9

2

）、B（6，0）．
（1）以原點O為位似中心，將AB按相似比2：1放大，并且對應線段CD在y軸左側，其中，點C與點A對應，點D與點B對應，直接寫出C、D兩點的坐標；
（2）在（1）中，若將y軸正半軸上的點P作為位似中心，其余條件不變，且點A的對應點C恰好在x軸上，求OP的長；
（3）試探究（2）中的

1

AB

、

1

CD

、

1

OP

之間的關系．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據位似圖形的定義及其性質，直接寫出C、D兩點的坐標即可解決問題．
（2）如圖，作出圖形；利用相似三角形的性質，列出比例式即可解決問題．
（3）通過△OBP∽△CBD，得到

OP

CD

=

OB

BC

①；通過△POC∽△ABC，得到

OP

AB

=

OC

BC

②，由①+②即可解決問題．

解答：解：（1）點C、點D的坐標分別為C（-12，-9）、D（-12，0）．
（2）如圖，連接AC、BD，則必過點P；
由位似圖形的性質知：△BAP∽△CDP，
∴

AP

CP

=

AB

CD

，而DC=2AB，
∴CP=2AP，設AP=λ，則CP=2λ，AC=3λ；
∵OP∥AB，
∴△POC∽△ABC，
∴

OP

AB

=

PC

AC

=

2λ

3λ

，而AB=

9

2

，
∴OP=

2

3

×

9

2

=3．
（3）由題意知：CD∥AB，而OP∥AB，
∴CD∥OP，△OBP∽△CBD，
∴

OP

CD

=

OB

BC

①；
∵△POC∽△ABC，
∴

OP

AB

=

OC

BC

②，由①+②得：

OP

CD

+

OP

AB

=

OB+OC

BC

，
而OB+OC=BC，
∴

OP

CD

+

OP

AB

=1，兩端除以OP得：

1

AB

+

1

CD

=

1

OP

．

點評：該題以平面直角坐標系為載體，以位似變換為方法，以相似三角形的判定及其性質的應用為考查的核心構造而成；解題的關鍵是深入觀察、大膽猜測、合理推斷、科學論證．