Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，過點A作DA⊥BA于點A，交BC的延長線于點D，延長BA至點E，連接CE交DA于點F，恰使AF=DF
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若AO=AE=2，求BC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC、AC，求出∠DCA=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出CF=AF，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠FAC=∠FCA，∠OCA=∠OAC，根據(jù)∠DAB=90°求出∠OCE=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）求出∠E=30°，求出等邊三角形ACO，求出AC=2，AB=4，根據(jù)勾股定理求出BC即可．

解答：（1）證明：連接OC，AC，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCA=90°，
∵AF=DF，
∴CF=AF，
∴∠FCA=∠FAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠FAC+∠OAC=∠DAB=90°，
∴∠OCF=∠FCA+∠OCA=∠FAC+∠OAC=∠DAB=90°，
∴CE是⊙O的切線；

（2）解：∵OC=AO=AE=2，∠OCE=90°，
∴∠CEO=30°，
∴∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴AC=AO=BO=2，
∵∠ACB=90°，
∴由勾股定理得：BC=

AB2-AC2

=

(2+2)2-22

=2

3

．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，題目比較好，綜合性比較強．