Question

如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A、C兩點(diǎn)，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸，y軸的乘線相交于B點(diǎn)，且OA，OC（OA＞OC）的長(zhǎng)分別是OC=6，OA=8
 （1）求直線MN的解析式；
（2）在直線MN上存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C三點(diǎn)為原點(diǎn)的三角形是等腰三角形，寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,勾股定理

專題：分類討論

分析：（1）由題意可得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出直線MN的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為H，如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），由“點(diǎn)P在直線MN上”可將n用m的代數(shù)式表示，就可用m的代數(shù)式表示出PH、CH、BH、然后根據(jù)勾股定理可用m的代數(shù)式表示出PC²、PB²，然后分三種情況（①PC=PB，②CP=CB，③BP=BC）討論，建立關(guān)于m的方程，求出m的值，就可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b．
∵OC=6，OA=8，
∴點(diǎn)C（0，6），點(diǎn)A（8，0），
∴

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直線MN的解析式為y=-

3

4

x+6．

（2）過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線，垂足為H，如圖，
由題可得C（0，6），B（8，6）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），
則PH=|n-6|，CH=|m|，BH=|m-8|，
∵點(diǎn)P在直線y=-

3

4

x+6上，
∴n=-

3

4

m+6，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-

3

4

m+6），PH=|-

3

4

m+6-6|=|

3

4

m|．
根據(jù)勾股定理可得：
PC²=PH²+CH²=（

3

4

m）²+m²，
PB²=PH²+BH²=（

3

4

m）²+（m-8）²．
①若PC=PB，
則（

3

4

m）²+m²=（

3

4

m）²+（m-8）²，
解得：m=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）．
②若CP=CB，
則（

3

4

m）²+m²=64，
解得：m₁=

32

5

，m₂=-

32

5

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

32

5

，

6

5

）或（-

32

5

，

54

5

）．
③若BP=BC，
則（

3

4

m）²+（m-8）²=64，
整理得：25m²-256m=0，
解得：m₃=0（舍），m₄=

256

25

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

256

25

，-

42

25

）．
綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3），（

32

5

，

6

5

）、（-

32

5

，

54

5

）、（

256

25

，-

42

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、勾股定理、解一元二次方程等知識(shí)，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，運(yùn)用勾股定理及分類討論的思想是解決第（2）小題的關(guān)鍵．