Question

【題目】如圖，拋物線y = x2+bx+c過點(diǎn)A (-1，2)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)B(a，0)(a＞1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線AC交拋物線于點(diǎn)D．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）連接OA，BD，當(dāng)OA//BD時(shí)，求a的值；

（3）若直線AC交拋物線于E，F兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè))，且EA=DF，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）y=2x+4．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸可得b的值，代入A點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出c的值；

（2）根據(jù)OA//BD和A點(diǎn)坐標(biāo)可求出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式即可解答；

（3）設(shè)A(xA，yA)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，根據(jù)EA=DF可得，xA-xE=xF-xD，xA+xD=xF+xE，根據(jù)A(-1，2)，C(-a，0)求出直線AC解析式為，然后與兩個(gè)拋物線聯(lián)立可得關(guān)于a的方程，解出a的值然后即可求出直線AC的解析式．

（1）∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴b=0，

把A (-1，2)，b=0代入y = x2+bx+c，得c=1，

∴拋物線解析式為：；

（2）∵B、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B(a，0)

∴C(-a，0)，

∵OA∥BD，

∴點(diǎn)A是CD中點(diǎn)，

∵A (-1，2)，

∴D (a-2，4)，

把D (a-2，4)代入，得，

解得：，

∵a＞1，

∴；

（3）設(shè)A(xA，yA)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，

∵EA=DF，∴xA-xE=xF-xD ∴xA+xD=xF+xE，

把A(-1，2)，C(-a，0)代入求得直線AC解析式為：，

聯(lián)立，得：，

∴，

∴xA+xD=，

聯(lián)立，得，

∴，

∴xF+xE=，

∴=，

解得：a=2，經(jīng)檢驗(yàn)a=2是原方程的解且符合題意，

∴直線AC解析式為：y=．