Question

如圖1，拋物線C₁：y=-x²+4x-2與x軸交于A、B，直線l：y=-x+b分別交x軸、y軸于S點和C點，拋物線C₁的頂點E在直線l上．
（1）求直線l的解析式；
（2）如圖2，將拋物線C₁沿射線ES的方向平移得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點F在直線l上，并交x軸于M、N兩點，且tan∠EAB=•tan∠FNM，求拋物線C₁平移的距離；
（3）將拋物線C₂沿水平方向平移得到拋物線C₃，拋物線C₃與x軸交于P、G兩點（點P在點G的左側(cè)），使得△PEF為直角三角形，求拋物線C₃的解析式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₁：y=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∴頂點E（2，2），代入直線l的解析式后，得：
-×2+b=2，b=3
∴直線l：y=-x+3．

（2）∵頂點F在直線l上，
∴可以設(shè)頂點F（m，-m+3），
∴拋物線C₂可表示為 y=-（x-m）²-m+3；
∵A（2-，0）、B（2+，0），E（2，2）
∴tan∠EAB==；
∵tan∠EAB=•tan∠FNM，∴tan∠FNM=1，∠FNM=45°
∴ON=m+（-m+3）=m+3，即 N（m+3，0）
代入y=-（x-m）²-m+3中，得 m=4，即 F（4，1）；
∴EF==，即拋物線C₁平移的距離EF=．

（3）由（2）知 C₂：y=-（x-4）²+1，∴M（3，0）、N（5，0）；
∵將拋物線C₂沿水平方向平移得到拋物線C₃，∴PG=MN=2，
設(shè)P（p，0），則Q（p+2，0），拋物線C₃頂點（p+1，1）、拋物線C₃：y=-（x-p-1）²+1；
∵E（2，2）、F（4，1），
∴PE²=（p-2）²+2²=p²-4p+8；PF²=（p-4）²+1²=p²-8p+17，EF²=5；
①當(dāng)∠PEF=90°時，p²-4p+8+5=p²-8p+17，∴p=1，此時C₃為 y=-（x-2）²+1；
②當(dāng)∠PFE=90°時，p²-8p+17+5=p²-4p+8，∴p=，此時C₃為 y=-（x-）²+1；
③當(dāng)∠EPF=90°時，p²-8p+17+p²-4p+8=5，即 p²-6p+10=0，△＜0，此時C₃不存在；
∴拋物線C₃的解析式為 y=-（x-2）²+1或y=-（x-）²+1．
分析：（1）利用配方法能得到拋物線C₁的頂點坐標(biāo)，代入直線l的解析式后即可得解．
（2）由于拋物線C₂是由拋物線C₁沿射線CS平移所得，所以C₂的頂點F仍在直線l上，且拋物線C₂的解析式中二次項系數(shù)不變（代表的是拋物線的開口方向和大小），首先根據(jù)點E的坐標(biāo)求出tan∠EAM的值，代入題干給出的關(guān)系式后可得tan∠FNM的值，然后根據(jù)直線l的解析式設(shè)出點F的坐標(biāo)，進而由tan∠FNM的值表示出點M或點N的坐標(biāo)，再代入拋物線C₂的解析式中后即可得到點F的坐標(biāo)，E、F兩點坐標(biāo)已知，其距離可求．
（3）拋物線C₂沿水平方向平移時，與x軸交點間的距離不變，頂點縱坐標(biāo)不變，可先設(shè)出點P、G以及C₃頂點的坐標(biāo)，那么線段EF、EP、FP的長度表達式可得，若△PEF是直角三角形，那么這三邊的長必滿足勾股定理，然后分點E、F、P分別是直角頂點列出等式求解．
點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、解直角三角形的應(yīng)用以及直角三角形的判定等知識；題（3）中，給出的直角三角形并沒有明確說明它的直角頂點，因此一定要注意進行分類討論．