Question

如圖，已知CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接AD、AC，點F在DC延長線上，連接AF，且∠FAC=∠CAB．
（1）求證：AF為⊙O的切線；
（2）若AD=10，sin∠FAC=

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，求AB的長．

Answer 1

考點：切線的判定,解直角三角形

專題：

分析：（1）連接OA、BC，證出∠EAO+∠FAC+∠CAB=90°，即∠FAO=90°，就可以得出AF為⊙O的切線；
（2）由sin∠FAC=

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，得出sin∠ADF=

2

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，再求出AE=AD×sin∠ADF=10×

2

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=4，AB=2AE=8．

解答：（1）證明：如圖，連接OA，BC，
∵直徑CD⊥AB，
∴AC=BC，∠AEO=90°，
∴∠CAB=∠ADC，∠EAO+∠EOA=90°，
∴∠FAC=∠CAB=∠ADC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠EOA=∠OAD+∠ODA
∴∠EAO+∠FAC+∠CAB=90°
即∠FAO=90°
∴AF為⊙O的切線．
（2）解：∵∠ADF=∠FAC，sin∠FAC=

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5

，
∴sin∠ADF=

2

5

，
∴AE=AD×sin∠ADF=10×

2

5

=4，
∴AB=8．

點評：本題主要考查了切線的判定，直徑與弦的關系，直角三角形的知識，解題的關鍵是找出相等角．