Question

【題目】如圖，⊙O半徑為4cm，其內接正六邊形ABCDEF，點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，連接PB，QE，PE，BQ．設運動時間為t（s）．

（1）求證：四邊形PEQB為平行四邊形；
（2）填空：
①當t=s時，四邊形PBQE為菱形；
②當t=s時，四邊形PBQE為矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4﹣t，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可證PE=QB，
∴四邊形PEQB是平行四邊形
（2）2；0或4
【解析】（2）解：①當PA=PF，QC=QD時，四邊形PBEQ是菱形時，此時t=2s．
②當t=0時，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°﹣30°=90°，
∴此時四邊形PBQE是矩形．
當t=4時，同法可知∠BPE=90°，此時四邊形PBQE是矩形．
綜上所述，t=0s或4s時，四邊形PBQE是矩形．
故答案為2s，0s或4s．
（1）根據(jù)正六邊形的性質得出AB=DE，∠A=∠D,再根據(jù)點P，Q同時分別從A，D兩點出發(fā)，以1cm/s速度沿AF，DC向終點F，C運動，得出AP=DQ，就可證明△ABP≌△DEQ，可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可證明結論。
（2）①當PA=PF，QC=QD時，四邊形PBEQ是菱形時，此時t=2s；
②當t=0時，∠EPF=∠PEF=30°，得出∠BPE=90°，可證明此時四邊形PBQE是矩形．當t=4時，同法可知∠BPE=90°，此時四邊形PBQE是矩形，即可得出答案。