Question

如圖，一次函數(shù)=kx+b的圖象經(jīng)過A（0，-2）、B（1，0）兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M，△OBM的面積為2．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求線段AM的長(zhǎng)；
（3）P是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，當(dāng)AM⊥PM時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)y=k₁x+b的圖象經(jīng)過A（0，-2），B（1，0）可得到關(guān)于b、k₁的方程組，進(jìn)而可得到一次函數(shù)的解析式，設(shè)M（m，n）作MD⊥x軸于點(diǎn)D，由△OBM的面積為2可求出n的值，將M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在雙曲線y=

k2

x

上即可求出k₂的值，進(jìn)而求出其反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)已知構(gòu)造直角三角形進(jìn)而利用勾股定理得出AM的長(zhǎng)；
（3）過點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由銳角三角函數(shù)的定義可得出OP的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵直線y=k₁x+b過A（0，-2），B（1，0）兩點(diǎn)
∴

b=-2 k1+b=0

，
∴解得：

b=-2 k1=2

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x-2，
∴設(shè)M（m，n），作MD⊥x軸于點(diǎn)D
∵S_△OBM=2，
∴

1

2

OB•MD=2，
∴

1

2

n=2，
∴n=4，
∴將M（m，4）代入y=2x-2得4=2m-2，
∴m=3
∵M(jìn)（3，4）在雙曲線y=

k2

x

上，
∴4=

k2

3

，
∴k₂=12，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=

12

x

；

（2）過點(diǎn)M作MF⊥y軸于點(diǎn)F，
則FM=3，AF=4+2=6，
∴AM=

62+32

=3

5

；

（3）過點(diǎn)M（3，4）作MP⊥AM交x軸于點(diǎn)P，
∵M(jìn)D⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=

OA

OB

=2，
∴在Rt△PDM中，

PD

MD

=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴當(dāng)PM⊥AM，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)為用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．