【題目】【感知】如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,點D、E分別在邊AC、BC上,且DE∥AB,易證AD=BE(不需要證明).
【探究】連結(jié)圖①中的AE,點M、N、P分別為DE、AE、AB的中點,順次連結(jié)M、N、P,其它條件不變,如圖②,求證:△MNP是等腰直角三角形.
【應(yīng)用】將圖②中的點D、E分別移動到AC、BC的延長線上,其它條件不變,在連結(jié)BD,并取其中點Q,順次連結(jié)M、N、P、Q,如圖③,若=,且DE=,則四邊形MNPQ的面積為 .
【答案】證明見解析
【解析】試題分析:
(1) 要證明△MNP是等腰直角三角形,就是要證明MN=PN以及∠MNP=90°. 由“感知”環(huán)節(jié)可知容易證AD=BE,分析題意知MN與PN分別為△AED與△BAE的中位線,故不難證明MN=PN. 通過中位線得到的平行關(guān)系,利用同位角和內(nèi)錯角可將∠MNP轉(zhuǎn)化為Rt△ACE的兩銳角之和,容易證明∠MNP=90°,進而證明△MNP是等腰直角三角形.
(2) 分析題意可知,四邊形MNPQ的四條邊均為相應(yīng)三角形的中位線. 據(jù)此不難證明四邊形MNPQ是平行四邊形. 根據(jù)等腰直角三角形ABC的相關(guān)條件可以證明∠NPQ為直角,進而證明四邊形MNPQ是矩形. 根據(jù)已知條件不難求得AB的長,再根據(jù)等腰直角三角形ABC的相關(guān)條件可求得BC和AC的長,進而利用相似三角形可以求得EC和CD的長. 在此基礎(chǔ)上根據(jù)中位線定理不難獲得NP和PQ的長,進而求得矩形MNPQ的面積.
試題解析:
(1) 下面解答“探究”環(huán)節(jié).
證明:∵DE∥AB,
∴,
∵AC=BC,
∴AD=BE.
∵點M與點N分別為DE與AE的中點,
∴MN∥AD, ,
∴∠MNE=∠CAE.
∵點N與點P分別為AE與AB的中點,
∴NP∥BE, ,
∴∠PNE=∠AEC.
∵AD=BE,
∴MN=PN.
∵∠C=90°,
∴在Rt△ACE中,∠CAE+∠AEC=90°,
∴∠MNP=∠MNE+∠PNE=∠CAE+∠AEC=90°.
∵MN=PN,∠MNP=90°,
∴△MNP是等腰直角三角形.
(2) 下面解答“應(yīng)用”環(huán)節(jié).
本小題應(yīng)填寫:4. 求解過程如下.
∵點M與點N分別為DE與AE的中點,
∴MN∥AD,
∵點P與點Q分別為AB與BD的中點,
∴PQ∥AD, ,
∴MN∥PQ.
同理,NP∥BE, ,MQ∥BE,
∴NP∥MQ.
∵MN∥PQ,NP∥MQ,
∴四邊形MNPQ為平行四邊形.
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠ABC=∠BAC=45°,
∵NP∥BE,
∴∠APN=∠ABC=45°,
∵PQ∥AD,
∴∠BPQ=∠BAC=45°,
∴∠NPQ=180°-∠APN-∠BPQ=180°-45°-45°=90°,
∴平行四邊形MNPQ為矩形.
∵, ,
∴,
∵∠ACB=90°,∠ABC=45°,AC=BC,
∴在Rt△ACB中, .
∴AC=BC=3.
∵DE∥AB,
∴△ECD∽△BCA,
∴,
∴, .
∴BE=BC+EC=3+1=4,AD=AC+CD=3+1=4.
∴, ,
∴矩形MNPQ的面積為,即四邊形MNPQ的面積為4.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】A、B兩地相距450千米,甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā),相向而行.已知甲車速度為120千米/時,乙車速度為80千米/時,經(jīng)過t小時兩車相距50千米,則t的值是( )
A.2或2.5
B.2或10
C.10或12.5
D.2或12.5
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義:在等腰三角形中,對于頂角的每一個確定的值,其底邊與腰的比值都是唯一確定的,這個比值是頂角的正對函數(shù).例如:圖①,在△ABC中,AB=AC,頂角A的正對函數(shù)記作sadA,sadA=或sadA=.
(1)在圖①中,若∠B=60°,則sadA= .
(2)如圖②,在△ABC中,AB=AC,若∠BAC=120°,求sad∠BAC.
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,直接寫出三個內(nèi)角的正對函數(shù)值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】兩個完全相同的正四面體骰子的各面上分別標明數(shù)字1,2,3,4,在桌子上同時投擲這兩個正四面體骰子,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求與桌面接觸的面所得的點數(shù)之和等于6的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線,D為⊙O上的一點,CD=CB,延長CD交BA的延長線于點E.
(1)求證:CD為⊙O的切線;
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場設(shè)立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖),并規(guī)定:顧客購物10元以上就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會,當轉(zhuǎn)盤停止時,指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)的獎品,下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù):
(1)計算并完成表格:
轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
落在“鉛筆”的次數(shù)m | 68 | 111 | 136 | 345 | 546 | 701 |
落在“鉛筆”的頻率 |
(2)假如你去轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次,你獲得鉛筆的概率約是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(10分)感知:如圖①,在四邊形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,易證△ABP∽△PCD,從而得到BPPC=ABCD(不需證明)
探究:如圖②,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,結(jié)論BPPC=ABCD仍成立嗎?請說明理由?
拓展:如圖③,在△ABC中,點P是BC的中點,點D、E分別在邊AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=4 ,CE=3,則DE的長為 .
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