Question

【題目】（10分）感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，易證△ABP∽△PCD，從而得到BPPC=ABCD（不需證明）

探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P在BC邊上，當(dāng)∠B=∠C=∠APD時(shí)，結(jié)論BPPC=ABCD仍成立嗎？請(qǐng)說明理由？

拓展：如圖③，在△ABC中，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4 ，CE=3，則DE的長(zhǎng)為　　．

Answer 1

【答案】探究：成立；拓展： ．

【解析】試題分析：探究：通過相似三角形△ABP∽△PCD的對(duì)應(yīng)邊成比例來證得BPPC=ABCD；

拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形內(nèi)角和定理證得AC⊥BC且AC=BC；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=BC=4；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理來求DE的長(zhǎng)度．

試題解析：探究，成立，∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．

∵∠B=∠APD，∴∠BAP=∠CPD．

∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD，∴ ，即BPPC=ABCD；

拓展：同理可得△BDP∽△CPE，∴ ，∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，∴BP=CP=，∵CE=3，∴，∴BD=，∵∠B=∠C=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，即AC⊥BC且AC=BC=4，∴AD=AB﹣BD=，AE=AC﹣CE=1，在Rt△ADE中，DE==．