Question

已知點M，N的坐標分別為（0，1），（0，-1），點P是拋物線y=

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x²上的一個動點．
（1）求證：以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1的相切；
（2）設(shè)直線PM與拋物線y=

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4

x²的另一個交點為點Q，連接NP，NQ，求證：∠PNM=∠QNM．

Answer 1

分析：（1）可先根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點的坐標，那么可得出PM的長的表達式，P點到y(tǒng)=-1的長就是P點的縱坐標與-1的差的絕對值，那么可判斷得出的表示PM和P到y(tǒng)=-1的距離的兩個式子是否相等，如果相等，則y=-1是圓P的切線．
（2）可通過構(gòu)建相似三角形來求解，過Q，P作QR⊥直線y=-1，PH⊥直線y=-1，垂足為R，H，那么QR∥MN∥PH，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例關(guān)系式可寫成QR：PH=RN：NH，而這兩組對應(yīng)成比例的線段的夾角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根據(jù)等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM．

解答：解：（1）設(shè)點P的坐標為（x₀，

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4

x²₀），則
PM=

x 2 0 +( 1 4 x 2 0 -1)2

=

1

4

x²₀+1；
又因為點P到直線y=-1的距離為，

1

4

x²₀-（-1）=

1

4

x²₀+1
所以，以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=-1相切．

（2）如圖，分別過點P，Q作直線y=-1的垂線，垂足分別為H，R．

由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR．
因為PH，MN，QR都垂直于直線y=-1，
所以，PH∥MN∥QR，
于是

QM

RN

=

MP

NH

，
所以

QR

RN

=

PH

HN

，
因此，Rt△PHN∽Rt△QRN．
于是∠HNP=∠RNQ，從而∠PNM=∠QNM．

點評：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)以及二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．
（2）中通過構(gòu)建相似三角形來求角相等是解題的關(guān)鍵．