【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為10,點E、F分別在邊BC、CD上,且∠EAF=45°,AHEF于點H,AH=10,連接BD,分別交AE、AH、AF于點P、G、Q.

(1)求CEF的周長;

(2)若EBC的中點,求證:CF=2DF;

(3)連接QE,求證:AQ=EQ.

【答案】(1)ECF的周長為20;(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】

(1)想辦法證明EB=EH,F(xiàn)D=FH,即可解決問題;

(2)通過計算求出CF、DF即可解決問題;

(3)想辦法證明APB∽△QPE,可得∠AEQ=ABP=45°即可解決問題.

(1)在RtABERtAHE中,

∵∠ABE=AHE=90°,AB=AH=10,AE=AE,

∴△ABE≌△AHE,

BE=HE,同理,DF=FH,

∴△ECF的周長=CE+CF+EF=CE=CE+BE+CF+FD=CB+CD=20.

(2)EBC中點,

BE=EC=EH=5,設DF=FH=x,則CF=10﹣x,

RtECF中,∵∠C=90°,

EF2=EC2+CF2

52+(10﹣x)2=(5+x)2,

解得x=,即DF=,則CF=10﹣=,

CF=2DF;

(3)在BPEAPQ中,∠EBP=QAP=45°,BPE=APQ,

∴△BPE∽△APQ,

=,

=,

∵∠APB=QPE,

∴△APB∽△QPE,

∴∠QEP=ABP=45°,

∵∠EAF=45°,

∴∠QEA=QAE=45°,

AQ=EQ.

練習冊系列答案
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