Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A（3，4），C在x軸的負半軸，拋物線y=﹣ （x﹣2）2+k過點A．

（1）求k的值；
（2）若把拋物線y=﹣ （x﹣2）2+k沿x軸向左平移m個單位長度，使得平移后的拋物線經過菱形OABC的頂點C．試判斷點B是否落在平移后的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 經過點A（3，4），

∴ ，

解得：

（2）解：如圖所示，

設AB與y軸交于點D，則AD⊥y軸，AD=3，OD=4， ．

∵四邊形OABC是菱形，

∴OA=AB=OC=5，BD=AB﹣AD=2，

∴B（﹣2，4）．

令y=0，得 ，

解得：x1=0，x2=4，

∴拋物線 與x軸交點為O（0，0）和E（4，0），OE=4，

當m=OC=5時，平移后的拋物線為 ，

令x=﹣2得， ，

∴點B在平移后的拋物線 上；

當m=CE=9時，平移后的拋物線為 ，

令x=﹣2得， ，

∴點B不在平移后的拋物線 上．

綜上，當m=5時，點B在平移后的拋物線上；當m=9時，點B不在平移后的拋物線上

【解析】（1）將點A的坐標代入二次函數解析式中，可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結論；（2）設AB與y軸交于點D，結合勾股定理以及菱形的性質找出點B、C的坐標，根據二次函數的解析式求出該拋物線與x軸的交點坐標，再根據平移的性質找出平移后過C點的二次函數的解析式，代入B點的坐標來驗證其是否在平移后的函數圖象上即可得出結論..
【考點精析】利用二次函數圖象的平移和菱形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．