Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-

3

4

x2+bx+c交x軸于A（4，0）、B（-1，0）兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的表達(dá)式和它的對(duì)稱(chēng)軸；
（2）若點(diǎn)P是線段OA上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)O和點(diǎn)A重合），點(diǎn)Q是射線AC上一點(diǎn)，且PQ=PA，在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD與△APQ相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A（4，0）、B（-1，0）兩點(diǎn)代入拋物線的解析式求出b和c的值即可；
（2）在x軸上是存在一點(diǎn)D，使得△ACD與△APQ相似，因?yàn)椤螦=∠A，則①△APQ∽△ACD或②△APQ∽△ADC，由相似三角形的性質(zhì)求出符合題意的點(diǎn)D坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

3

4

x2+bx+c交x軸于A（4，0）、B（-1，0）兩點(diǎn)
∴

- 3 4 ×16+4b+c=0 - 3 4 -b+c=0

，
解得：

b= 9 4 c=3

∴拋物線的表達(dá)式：y=-

3

4

x2+

9

4

x+3，
它的對(duì)稱(chēng)軸是：直線x=

3

2

；

（2）在x軸上是存在一點(diǎn)D，使得△ACD與△APQ相似，
理由如下：
假設(shè)在x軸上是否存在一點(diǎn)D，使得△ACD與△APQ相似，
∵∠A=∠A，
則①△APQ∽△ACD，
∴

AP

PQ

=

AC

CD

，
∵PQ=PA∴AC=CD
∵A（4，0），
∴D₁（-4，0）；
②△APQ∽△ADC，
∴

AP

PQ

=

AD

CD

，
∵C （0，3），PQ=PA
∴AD=CD，
∴D2(

7

8

，0)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)D1(-4，0)，D2(

7

8

，0)時(shí)，△ACD與△APQ相似．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．