Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A（-2，6），且與x軸交于點B，與正比例函數(shù)y=3x的圖象相交于點C，點C的橫坐標是1．

（1）求此一次函數(shù)的解析式；

（2）請直接寫出不等式（k-3）x+b＞0的解集；

（3）設(shè)一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸交于點M，點N在坐標軸上，當△CMN是直角三角形時，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+4；（2）x＜1；（3）當△CMN是直角三角形時，點N的坐標為（-4，0），（0，2），（-2，0），（0，3）．

【解析】

(1)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，根據(jù)點A，C的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出此一次函數(shù)的解析式；

(2)由(1)的結(jié)論可得出y=-4x+4，令y=0可求出該直線與x軸的交點坐標，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出不等式(k-3)x+b＞0的解集；

(3)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點M的坐標，分∠CMN=90°，∠MCN=90°及∠CNM=90°三種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點N的坐標．

(1)當x=1時，y=3x=3，

∴點C的坐標為(1，3)．

將A(-2，6)，C(1，3)代入，得：，

解得：，

∴此一次函數(shù)的解析式為；

(2)令，即，

解得：．

∵-4＜0，

∴y的值隨x值的增大而減小，

∴不等式＞0的解集為x＜1；

(3)∵直線AB的解析式為，

∴點M的坐標為(0，4)，

∴OB=OM，

∴∠OMB=45°．

分三種情況考慮，如圖所示．

①當∠CMN=90°時，

∵∠OMB=45°，

∴∠OMN=45°，∠MON=90°，

∴∠MNO=45°，

∴OM=ON，

∴點N1的坐標為(-4，0)；

②當∠MCN=90°時，

∵∠CMN=45°，∠MCN=90°，

∴∠MNC=45°，

∴CN=CM==，

∴MN=CM=2，

∴點N2的坐標為(0，2)．

同理：點N3的坐標為(-2，0)；

③當∠CNM=90°時，CM∥x軸，

∴點N4的坐標為(0，3)．

綜上所述：當△CMN是直角三角形時，點N的坐標為(-4，0)，(0，2)，(-2，0)，(0，3)．